本文介绍物理学知情神经网络，它们被训练来解决监督式学习任务，同时遵守由概括非线性偏微分方程组的任何物理法则。

Nov, 2017

本文提出了一种基于深度学习的方法，可以从散乱的、有可能带有噪声的时空数据中，发现非线性偏微分方程，该方法通过两个深度神经网络来近似未知解和非线性动力学，并测试了其在多个科学领域的效果。

Jan, 2018

本文提出了一种新的学习模型，称为隐藏物理模型，旨在从小数据中学习偏微分方程，并利用高斯过程进行概率推断，此方法被证明在各种科学领域中具有潜在的应用前景。

Aug, 2017

本文提出了一种端到端的框架，用于学习偏微分方程，首先通过物理感知神经算子实现了 1D 波动方程和 1D Burgers 方程的准确性和性能，并将其用于更多新的方程类型，以及在学习 2D 线性和非线性浅水方程中的应用。

Mar, 2022

本文提出了一种新颖的基于物理信息的神经网络框架，用于解决时间依赖偏微分方程，利用离散余弦变换对空间频率进行编码，再利用循环神经网络处理时间演化，从而实现对问题的时空动态的潜在表达，提高了物理相关模型的效率和灵活性，并在 Navier-Stokes 方程的 Taylor-Green 涡旋解上实现了最先进的性能。

Feb, 2022

本文介绍了使用深度学习发现复杂数据集中隐藏的偏微分方程 (包括线性和非线性方程)。通过使用测量数据进行必要的输入数据转换来实现发现过程中的坐标转换。同时，展示了用于选择特征和模型的技巧。通过本文的分析，可以发现非线性二阶偏微分方程的动力学可以由我们的深度学习算法自动准确地描述为普通微分方程。在研究更复杂的模拟时，也可以得到类似的结果。

Aug, 2018

该研究介绍了一种将机器学习与传统科学方法相结合的基于数据驱动的框架，将物理学的先验知识与先进的机器学习技术相结合，旨在解决基于第一原理和全力学习方法固有的计算和实际限制。通过嵌入特定于特定类别非线性系统的物理学先验，包括可分离和不可分离的哈密顿系统、双曲型偏微分方程和不可压缩流体动力学，我们的框架展示了四种算法。物理定律的内在结合保留了系统的内在对称性和守恒定律，确保了解的物理合理性和计算效率。这些先验的结合还提高了神经网络的表达能力，使其能够捕捉传统方法常常忽视的物理现象中的复杂模式。因此，尽管依赖于小数据集、短训练周期和小样本量，我们的模型在预测准确性、鲁棒性和预测能力方面优于现有的数据驱动技术，特别是识别训练集中缺失的特征。

Jun, 2024

利用物理知识驱动的深度学习方法在异质固体中解决参数化偏微分方程，它的关键是建立复杂的热导率分布、温度分布和热流分量之间的联系，通过固定边界条件，在这项工作中，我们独立于有限元方法等经典求解器，并通过基于离散弱形式的损失函数定义方法给出出色的结果，该损失函数是一个代数方程，大大提高了训练效率。通过将我们的方法与标准有限元方法进行基准测试，我们展示了使用训练有素的神经网络在温度和通量剖面方面进行准确且更快的预测，我们还展示了在未知情况下，与纯数据驱动方法相比，所提出的方法具有更高的准确性。

Jan, 2024

本研究提出了一种基于噪声感知的物理信息机器学习框架以及基于离散傅里叶变换的去噪物理信息神经网络，用于通过数据发现物理系统的偏微分方程， 并在五个标准偏微分方程上进行实验证明了该方法的鲁棒性和可解释性。

Jun, 2022

本文提出一种新的基于物理编码离散学习框架，用于从稀缺且有噪声的数据中发现时空偏微分方程，通过引入基于深度卷积 - 循环网络进行先前的物理知识编码，并利用重构数据的稀疏回归来识别控制 PDEs 的显式形式。作者在三个非线性 PDE 系统上进行了验证，展示了该方法的有效性和优越性。

Jan, 2022