本文探索使用 PINNs 求解障碍相关的偏微分方程，通过多种场景对线性和非线性、规则和不规则障碍下的 PDE 进行求解，表现良好。

Apr, 2023

该研究介绍了一种名为 PPINN 的新型神经网络结构，可在短时间内解决时间依赖性偏微分方程问题，通过将一个长时间问题分解成许多由粗粒度求解器监督的独立短时间问题，PPINN 可以在几个迭代中实现收敛并获得显著加速。

Sep, 2019

通过在前馈神经网络中嵌入偏微分方程所描述的物理信息，物理信息导向的神经网络（PINNs）作为深度学习的一种有前途的方法，用于解决偏微分方程（PDEs）。然而，尽管 PINNs 表现出卓越的性能，但它们在处理解快速变化的方程时可能面临困难。为了解决这些问题，我们提出了一种二进制结构的物理信息导向神经网络（BsPINN）框架，其中采用二进制结构神经网络（BsNN）作为神经网络组件。通过利用相对于完全连接的神经网络减少神经元连接的二进制结构，BsPINNs 在更有效和高效地捕捉解的局部特征方面表现出色。在一系列解决 Burgers 方程、Euler 方程、Helmholtz 方程和高维 Poisson 方程的数值实验中，BsPINNs 展现出优异的收敛速度和更高的准确性，相较于 PINNs。从这些实验中，我们发现 BsPINNs 解决了 PINNs 中增加的隐藏层导致过度平滑的问题，并防止了 PDEs 解不光滑导致准确性下降的问题。

Jan, 2024

文章综述了物理学启发的神经网络（PINN）的文献，并介绍了其特点和优缺点。此外，研究还包括了使用 PINN 以及它的许多其他变体解决 PDE、分数方程、积分微分方程和随机 PDE 的广泛应用领域，以及它们的定制化方法，如不同的激活函数、梯度优化技术、神经网络结构和损失函数结构。虽然该方法被证明在某些情况下比有限元方法更可行，但它仍面临理论问题尚未解决。

Jan, 2022

本篇论文探讨了 PINN 作为线性求解器的潜力，在 Poisson 方程中评估了不同参数下的表现和精度，并且阐述了传递学习的关键作用。同时，论文也提出了将 PINN 与传统线性求解器相结合的方法，以解决高频解的问题，并表明该混合策略在发展具有潜力的新型线性求解器方面具有前景。

Mar, 2021

本研究提出了一种名为 latentPINN 的框架，通过将偏微分方程（PDE）参数的潜在表示作为额外的输入进行 PINN 模型的训练，使用两个阶段的训练来学习 PDE 参数的潜在表示，并通过在解决区域内随机生成空间坐标和 PDE 参数值的样本进行物理感知神经网络的训练，试验结果表明该方法在不需要任何额外训练的情况下可以很好地适用于不同的 PDE 参数。

May, 2023

我们介绍了一种鲁棒版本的物理启发式神经网络（RPINN）来近似求解偏微分方程（PDEs），该方法利用能量范数计算的残差和格拉姆矩阵的倒数构建了损失函数，在两个空间维度的拉普拉斯问题和对流扩散问题中进行了测试，结果表明 RPINN 是一种鲁棒的方法，其损失函数与解的真实误差在能量范数下相符，因此我们可以知道训练过程进行得如何，并在达到所需精度的真实误差下停止训练来获得 PDE 解的神经网络逼近。

Jan, 2024

提供了使用转移学习来增强 PINN 的鲁棒性和收敛性的训练方法，通过两个案例研究发现转移学习可以有效训练 PINN 在低频问题到高频问题的近似解，同时减少了网络参数，所需数据点和训练时间。同时提供了优化器选择和使用转移学习解决更复杂问题的指南。

Jan, 2024

本文介绍了一种基于物理信息的神经网络（PINN）来解决偏微分方程的方法，并提出了一种基于容差的正确性条件的后训练框架（CROWN），用于限制 PINN 残差误差，并在经典 PDE 和现实应用中进行了实际效果测试。

May, 2023

提出了一种密集乘积 PINN (DM-PINN) 架构，通过将隐藏层的输出与所有后面的隐藏层的输出相乘，不引入更多的可训练参数，它可以显著提高 PINNs 的准确性。对四个基准示例 (Allan-Cahn 方程、Helmholtz 方程、Burgers 方程和 1D 对流方程) 对所提出的架构和不同的 PINN 结构进行比较，证明了 DM-PINN 在准确性和效率上的卓越性能。

Feb, 2024