FiniteNet：一种用于时间相关偏微分方程的全卷积 LSTM 网络架构

ICMLFeb, 2020

FiniteNet：一种用于时间相关偏微分方程的全卷积 LSTM 网络架构

FiniteNet: A Fully Convolutional LSTM Network Architecture for Time-Dependent Partial Differential Equations

Ben Stevens, Tim Colonius

TL;DR本文介绍了一种利用机器学习方法来减少时间依赖性偏微分方程数值求解误差的方法，使用全卷积 LSTM 网络来利用偏微分方程的时空动态性，提高常规有限差分和有限体积法的精度，并通过对模拟数据的训练和三个不同动态学特征的偏微分方程实例的演示，表明该方法与其他算法相比误差降低了 2 到 3 倍。

Abstract

In this work, we present a machine learning approach for reducing the error when numerically solving time-dependent partial differential equations (PDE). We use a fully →

machine learning partial differential equations convolutional lstm network error reduction simulation data

发现论文，激发创造

通过基于有限差分的非监督小型线性卷积神经网络解决椭圆和抛物问题

我们提出了一种完全无监督的方法，通过小型卷积神经网络直接估计偏微分方程的有限差分解，以解决常规神经网络方法在估计 PDE 解时遇到的泛化差距问题。与有限差分法相比，我们的算法在几个选定的椭圆和抛物问题的真实解上展示了相当准确的结果。

Nov, 2023

解决偏微分方程的快速分辨率无关的神经技术

本文综述了传统的 PDE 数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习 PDE 解算子的新方法，与传统方法相比具有 1000 倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

Jan, 2023

参数偏微分方程的傅里叶神经算子

该论文提出了一种新的神经算子，通过直接在傅里叶空间中参数化积分核，实现了对偏微分方程的求解，并在 Burgers' equation、Darcy 流和 Navier-Stokes 方程等测试中展现了高准确率和比传统方法高三个数量级的速度。

Oct, 2020

利用物理感知神经网络组合偏微分方程

本文提出一种组合物理感知有限体积神经网络（FINN），用于学习时空对流扩散过程，可在模拟偏微分方程（PDE）的同时融合人工神经网络的学习能力和数值模拟的物理和结构知识，实验结果表明 FINN 具有卓越的建模准确性、良好的超出分布泛化能力，并且仅需平均十分之一的参数数量就可以在各类情况下优于纯机器学习和其他最先进的物理感知模型。

Nov, 2021

基于像素数据的预测：来自 PDE 和有限差分的洞见

为了更好地理解神经网络对序列近似的精度和成本，本文针对序列近似任务，通过利用离散卷积和有限差分算子之间的联系，构造可以在保证性能的情况下，具有与实践中常用的序列近似任务的相似性的小型卷积神经网络，本文的理论结果得到了数值实验的支持。

May, 2023

deepFDEnet: 用于解决分数阶微分方程的新型神经网络结构

提出了一个深度神经网络的新架构，可以准确解决分数阶微分方程。使用高斯积分规则和 L1 离散技术。通过研究分数阶普通微分方程、分数阶积分微分方程和分数阶偏微分方程，结果表明该提出的架构以出色的精度解决不同形式的分数阶微分方程。

Sep, 2023

NeuPDE: 基于神经网络的常微分方程和偏微分方程模型，用于建模时变数据

使用神经网络和偏微分方程提取动态数据中的模型，参数化模型来结合空时样本相关性，在 MNIST 和 Fashion MNIST 上与其他深度神经网络进行了比较，证明本方法能够降低参数成本。

Aug, 2019

用有限差分信息图网络求解块结构网格上的恒定不可压缩流

使用图网络和图卷积有限差分方法来解决参数化设置下具有复杂流场的流动问题，与传统计算流体力学求解器相比，该方法在训练效率和准确性上都有所提升。

Jun, 2024

高维随机偏微分方程深度神经网络代理

利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

Jun, 2018

使用有限元网络从稀疏观测中学习物理系统动态

本文提出了一种用于任意分布的点的时空预测的新方法，该模型可以利用偏微分方程来推导数据动态的连续时间模型，通过有限元方法，在空间域的网格化中估计未知动态对每个单元格的瞬时影响，我们的模型可以通过假设方程的形式来将先前知识纳入其中，并从对流方程导出一个运输变体，该模型对比基准模型，表现了更好的海面温度和气体流量预测的转移性能。此外，我们的模型具有独特的可解释性。

Mar, 2022