本研究通过建立不等式来描述近似的 pinball 风险最小化器与相应条件分位数之间的接近程度，再利用这些不等式建立了所谓的方差界，并利用两种类型的不等式来证明使用 pinball 损失函数的支持向量机的 Oracle 不等式，从而实现了最小 - 最大下限对某些标准规定的条件分位数的正则性假设。

Feb, 2011

该研究提出了一种新的框架，用于拟合添加量分位回归模型，提供关于条件分位数的精确推断和平滑参数的快速自动估计，适用于多样化的模型结构，同时保持数值效率和稳定性。

Jul, 2017

本文提出了针对回归模型的不确定性量化问题的非参数校准方法，该方法能够简单高效地提升模型个体校准的性能。通过数值实验，证明其优越性。

May, 2023

本文提出一种基于深度学习的直方图回归方法，它包含交叉区间信息并产生可能直方图的分布，并将针球损失应用于累积直方图中以获得新的损失函数，该函数在预测中位数直方图的准确度上类似于标准的 Earth Mover's distance (EMD)。（$\tau=0.5$），并将其推广到任意分位数。

Jun, 2021

本文介绍了一种新的分布校准方法，并提出了采用多输出高斯过程和 Beta 链接函数的方法来改善先前训练的回归模型的预测的后验方法。该方法得到了实验验证，并在分布层和分位数层面上均有所提高。

May, 2019

基于鲁棒分位数回归和深度学习的方法，在关键特征异常值存在的情况下，提出了用于估计不确定性的方法，并在医学成像翻译任务中展示了其适用性。

Sep, 2023

本文探讨了 XGBoost 在复合分位数回归中的应用，提出了一种平滑逼近的 arctan pinball 损失函数，其相对较大的二阶导数使其更适合于 XGBoost 的二阶逼近优化方法，可同时预测多个分位数，更高效且减少了分位数交叉问题。

Jun, 2024

本文研究了具有重尾噪声的高维线性回归模型的分布式估计和支持恢复，并采用分位数回归损失函数来处理噪声。我们提出了一种计算和通信效率高的分布式估计器，理论上表明该方法在少数迭代后即能达到近乎理想的收敛速度，并且还为支持恢复提供了理论保证。

Jun, 2019

运算符学习在科学和工程应用领域中得到了越来越广泛的应用，其中许多需要经过校准的不确定性量化。本文提出了一种风险控制分位数神经运算符，即无分布、有限样本的函数校准型预测方法，通过实验证实了我们的理论结果，显示了校准的覆盖率和高效的不确定性范围，优于基准方法。

Feb, 2024

这篇论文提出了第一个框架，统一了概率预测模型的校准评估和测试，并应用于分类和任意维度回归模型。

Oct, 2022