Jun, 2023

基于多重网格增强的深度学习方法求解亥姆霍兹方程：紧致隐层优化可扩展性

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TL;DR本研究提出一种基于深度学习的迭代方法，用于解决高波数下的离散异质 Helmholtz 方程。该方法结合了经典的迭代多重网格求解器和卷积神经网络（CNN），通过预处理得到一个学习的神经求解器，它比标准的多重网格求解器更快、更可扩展。
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发现论文，激发创造
  • 基于多层卷积神经网络的参数化偏微分方程求解

    该论文提出了一种将多层求解器和基于神经网络的深度学习方法相结合的新方法，用于解决高维参数的偏微分方程数值解问题，并在理论和实验方面都得到了验证。

    Apr, 2023

  • 基于语法导向遗传编程演化通用多网格 Helmholtz 预处理器

    本研究提出了一种基于多目标语法引导遗传规划的新方法，通过上下文无关语法构建多重网格预处理器，利用自定义的逐步问题难度适应方法，演化出适用于不同波数下高效的预处理器来解决二维不定 Helmholtz 方程的线性系统求解问题。

    Apr, 2022

  • Navier-Stokes 方程的神经网络多重网格求解器

    DNN-MG 是一种深度神经网络多重网格求解器，旨在提高 Navier-Stokes 方程的计算效率，通过使用多重网格方法在粗网格上经典求解，同时使用具有记忆的循环神经网络校正直接插值得到的解，从而避免在细网格上昂贵的计算。该方法通过高度紧凑的神经网络实现了计算时间的缩短，并具有良好的推广性。

    Aug, 2020

  • 神经多网格架构

    我们提出了一种简便的无矩阵神经网络结构用于多重网格方法。该结构简单到可以在不到五十行的代码中实现，但包含许多不同的多重网格求解器。我们认为，固定的神经网络没有密集层不能实现高效的迭代方法。因此，标准的训练协议不能生成竞争优势的求解器。为了克服这个困难，我们使用参数共享和层序列化。所得到的网络可以在数以千计未知元的线性问题上进行训练，并在百万未知元的问题上保持其效率。从数值线性代数网络的训练角度来看，它对应于找到几何多重网格方法的最佳平滑器。我们在几个二阶椭圆方程上演示了我们的方法。对于测试的线性系统，与基本线性多重网格方法的 Jacobi 平滑器相比，我们得到的误差传播矩阵的谱半径较小，是其 2 到 5 倍。

    Feb, 2024

  • 基于多小波算子的微分方程学习

    本文介绍了一种基于多小波神经算子学习方案的解微分方程的方法，该方法使用细粒度小波压缩相关算子的内核，并通过显式嵌入逆小波滤波器，将内核投影到固定的多项式基上进行训练，在多个尺度上训练投影内核，实现了解微分方程的分辨率独立方案。与现有的神经算子方法相比，我们的模型在一系列数据集上展现出更高的准确性，并取得了最新的成果。

    Sep, 2021

  • 基于分层矩阵的多尺度神经网络

    引入一种基于 H 矩阵结构的新多尺度人工神经网络，可将其推广到非线性情况，并且能够高效逼近非线性薛定谔方程和 Kohn-Sham 密度泛函理论等离散非线性映射。

    Jul, 2018

  • 加速三维椭圆偏微分方程有限元求解器的代数多重网格算法的深度学习算法

    提出了一种基于深度学习的算法，利用人工神经网络调整强度阈值参数，减小求解偏微分方程时代数多重网格方法（AMG）的计算开销，实验结果在含有异质的扩散系数和杨氏模量问题的训练集外的测试集上能节省 30% 左右的计算时间。

    Apr, 2023

  • DGM：一种用于解决偏微分方程的深度学习算法

    提出了一种名为 Deep Galerkin Method（DGM）的算法，它使用深度神经网络来解决高维偏微分方程问题。相较于形成网格，该算法不依赖于网格，而是通过对随机采样的时间和空间点的批量训练来实现。它在一类高维自由边界的偏微分方程、高维哈密顿 - 雅各比 - 贝尔曼（Hamilton-Jacobi-Bellman）偏微分方程和 Burgers 方程上得到了测试，并且在高维空间中能够准确地近似各种边界条件和物理条件下的 Burgers 方程的一般解。此外，论文还证明了神经网络在一类拟线性抛物型偏微分方程上的逼近能力。

    Aug, 2017

  • 使用卷积网络加速欧拉流体模拟

    这项工作提出了一种数据驱动的方法，结合深度学习和标准求解器的精度，通过解决大型稀疏线性系统来快速高度逼真地模拟不可压缩的欧拉方程，得到比最近提出的数据驱动方法更好的 2D 和 3D 模拟结果，并展示了良好的泛化性能。

    Jul, 2016

  • 一种基于极限学习机的高维计算 PDEs 方法

    我们提出了两种基于随机神经网络解决高维偏微分方程 (PDE) 的有效方法。通过对这种类型网络的普适逼近性质的激励，这两种方法都将极限学习机 (ELM) 方法从低维扩展到高维。第一种方法中，$d$ 维度下未知解域由随机前向神经网络表示，其中隐藏层参数随机分配并固定，而输出层参数进行训练。PDE、边界 / 初值条件以及连续性条件 (对于方法的局部变量) 被施加在一组随机内部 / 边界对应点上。通过最小二乘解决其结果线性或非线性代数系统，从而得到网络参数的训练值。第二种方法通过一个基于近似理论的被约束表达式重新描述高维 PDE 问题，避免了随着维度增加而引发的 TFC 项数量的指数级增长。约束表达式中的自由域函数由随机神经网络表示，并通过类似于第一种方法的过程进行训练。我们进行了大量数值模拟，针对多个高维线性 / 非线性静态 / 动态 PDE，以展示这些方法的性能。与基于物理知识的神经网络 (PINN) 方法相比，当前方法在高维 PDEs 上既具有成本效益，又更准确。

    Sep, 2023