采用端到端深度学习方法，提高了计算流体动力学中建模二维湍流流动的逼近精度，在直接数值模拟和大涡模拟中实现 8-10 倍于基线求解器的空间精度，具有 40-80 倍的计算速度加速，并保持稳定性，可适用于不同强度和涡量值的流量。

Jan, 2021

利用可微分湍流解算器与受物理启发的深度学习架构的组合，学习出极为有效且多功能的二维湍流流动的亚网尺度模型；通过研究所选择的架构的归纳偏差分析，发现包含小尺度非局部特征对于效果良好的亚网尺度建模至关重要，而大尺度特征可以提高后验解场的点位准确性；通过分解输入与输出为各向同性、去除偏差以及反对称分量，将滤波速度梯度张量直接映射到亚网尺度应力。同时，验证模型可应用于多种不同流动配置，包括更高和更低雷诺数以及不同的施加条件。实验证明可微分物理的范例比离线的先验学习更加成功，并且深度学习的混合解算器循环方法在计算效率、准确性和泛化性方面提供了理想的平衡。该研究为基于物理的湍流智能感知方法提供了推荐建议。

Jul, 2023

本文开发了一个混合（图）神经网络，利用传统的图卷积网络和内嵌可微流体动力学模拟器相结合，在利用较粗略的问题表示进行实际 CFD 模拟的同时，通过结合实际 CFD 模拟器和图网络，我们展示了我们能够很好地推广到新的情况并受益于神经网络 CFD 预测的显着加速，同时还大大优于单独的粗略的 CFD 模拟。

Jul, 2020

使用基于物理原理的 TensorFlow-net 深度学习模型，可以准确预测高效非线性动力学物理场，并且满足保守质量、模拟湍流动能和频谱等物理特征。

Nov, 2019

提出 DeepCFD 模型，基于卷积神经网络，有效地逼近非均匀稳态层流的问题，从真实数据中学习 Navier-Stokes 方程的完整解，可在低误差率的情况下加速高达三个数量级。

Apr, 2020

本文介绍了将 CFD 和深度学习结合的 CFDNet 框架，用于加速雷诺平均纳维 - 斯托克斯模拟的收敛，加速效果达到 1.9-7.4 倍。

May, 2020

机器学习在科学计算中已经成为核心技术，能够用于加速直接数值模拟，提高湍流封闭建模，并发展优化的降阶模型，在计算流体力学等领域有着广泛的应用和潜在影响，但也需要考虑一些潜在限制和问题。

Oct, 2021

通过使用 Gledzer-Ohkitani-Yamada (GOY) shell 模型的强烈简化表示，我们构建了一个小尺度湍流模型进行研究，重点探讨了机器学习与物理学的相结合，以及在将机器学习与微分方程相结合时存在的问题。

Jan, 2022

我们提出了一种方法来减小粗网格计算流体力学（CFD）问题的空间离散化误差，通过利用高质量数据喂给深度学习模型来提高低分辨率模拟的质量。我们用前馈神经网络替换了对流项的默认差分方案，将速度从单元格中心插值到面值，以产生与细网格数据近似的速度。深度学习框架集成了开源 CFD 代码 OpenFOAM，形成了一个端到端可微化的模型。我们使用离散伴随代码版本自动微分了 CFD 物理学。我们提出了一种加速训练过程的 TensorFlow（Python）和 OpenFOAM（C++）之间的快速通信方法。我们将该模型应用于方形柱问题的流动中，将误差减小到了传统求解器的约 50％，在 x 和 y 速度分量上，网格粗糙度为 8 倍。由于架构利用了物理学的局部特征并为中期模拟生成稳定的预测，所以这种训练是可接受的时间和数据样本。

May, 2024

本研究使用机器学习模型逆向预测了网格加粗导致的信息丢失程度，并将该信息加回到低分辨率模拟中以提高模拟质量，并演示了此方法在加速模拟过程中不会牺牲解的精度，从而使 CFD 的代价 / 精度权衡更有利。

Apr, 2023