本文首先说明深度学习中卷积神经网络在图像识别方面的成功，然后介绍了将此框架推广到其他领域的尝试，并给出了使用表示论和非交换调和分析概念的卷积和等变性的理论证明，证明了卷积结构不仅是充分而且也是必要的对于紧致群作用的等变性的条件，并推导了新的广义卷积公式。

Feb, 2018

本文介绍了群等变神经网络及其在机器学习中的应用及理论，其中包括群表示理论、非交换调和分析和微分几何等内容，研究结果表明这些网络可以降低样本和模型的复杂性，在输入具有任意相对角度的挑战性任务中表现出色。

Apr, 2020

提供求解矩阵群等变层的通用算法，在多个未曾解决的群中构建具有多个群等变性的多层感知器，优于非等变基线模型，在粒子物理和动力系统中应用。

Apr, 2021

本文通过对Cover函数计数定理的推广提出了一个方法，量化可以分配给物体的等变表现的线性可分和群不变的二元分裂的数量。作者发现可分割分割是由群作用修正的空间维度决定的。此外，作者将其理论应用于卷积神经网络的中间表示，并发现其与实际结果完全相符合。

Oct, 2021

使用等变函数作为认知模型的假设条件下，学习具有对称性和等变性的函数是不可能的；我们探究了群和半群的逼近概念，分析了线性等变网络和群卷积网络是否满足该结果，并阐述了它们的理论和实际意义。

Oct, 2022

本文研究线性神经网络层，特别是在深度学习架构中核心的具有排列不变性或等变性的网络层；针对这一特性，作者对其进行了参数化以及基于对称群作用下的标准基元轨道的和来表示排列等变线性层；进一步，本文介绍了一种基于低秩张量分解计算的基元，该基元比轨道基元的计算代价更低，最后提出了一种算法来实现这些基元相乘。

Mar, 2023

本研究探讨网络等变性是否意味着所有层都具有等变性。论文在理论和实验方面发现，CNN是具有层间等变性的，这一发现支持最近Entezari及其合作者提出的置换猜想的一个弱化版本

May, 2023

使用李群和李代数的结构与几何学，提出了一个框架，用来在大多数情况下处理几何变换的不规则群，重点关注李群 GL+(n, R) 和 SL(n, R)，以及它们作为仿射变换的表示。通过将`较大的`群分解为子群和子流形来实现不变积分和全局参数化。在这个框架下，我们展示了如何参数化卷积核来构建关于仿射变换等变的模型，并在标准的仿射不变基准分类任务上评估了我们模型的鲁棒性和越域泛化能力，结果表明我们的模型优于所有先前的等变模型以及所有胶囊网络提议。

Oct, 2023

等变神经网络在对称域上显示出了改进的性能、表现力和样本复杂度，但对于某些特定的对称性、表示和坐标选择，常见的逐点激活（如ReLU）不能实现等变性，则无法用于等变神经网络的设计。本文中我们提出的定理描述了所有可能的有限维表示、坐标选择和逐点激活的组合，以获得完全等变的层，这样可以广义地推广和加强现有的特征。值得注意的是，实际相关的特殊情况被作为必要的推论进行了讨论。事实上，我们证明旋转等变网络只能是不变的，因为对于任何与连通紧致群等变的网络来说都是如此。然后，我们讨论了当应用于恰好等变网络的重要实例时，我们的研究结果的影响。首先，我们对诸如具有逐点非线性和几何对应物的不变图网络之类的置换等变网络进行了完全表征，突出了一大批具有尚不清楚的表现能力和性能的模型。其次，我们表明了解离可操作卷积神经网络的特征空间是平凡表示。

Jan, 2024

本文研究了不变映射与等变映射之间的关系，填补了群体对称性深度神经网络理解的空白。通过建立二者之间的一一对应关系，提出了一种基于不变网络构建通用等变结构的新方法，并探索了其复杂性及与标准等变结构的差异。这项研究为等变深度神经网络的构造和优化提供了重要见解。

Sep, 2024