通过物理信息神经网络（PINN）框架，解决一类非线性随机动力学系统的 Fokker-Planck 方程，通过 Duffing、Van der Pol 和 Duffing-Van der Pol 振子的几个示例评估 PINN 在预测 PDF、捕捉 PDF 的 P 分岔和处理高维系统方面的能力和准确性，并通过与蒙特卡洛模拟和现有文献的比较证明 PINN 可以有效应对所有上述问题，同时表明使用迁移学习可以大大减少 PINN 解决方案的计算时间。

Sep, 2023

本文提出了一种基于概率流方程和深度学习的高维 Fokker-Planck 方程求解方法，该方法比传统的随机微分方程求解方法更加准确和稳定，并能直接给出诸如概率流、概率密度、熵等量的估计值。

Jun, 2022

通过使用基于评分函数的求解器，我们提出了一种新颖的方法来解决高维度 Fokker-Planck 方程中的维数灾难问题，并在不同设置下对其稳定性、速度和性能进行了评估。

Feb, 2024

我们介绍了一种用于解决高维 Fokker-Planck-Lévy (FPL) 方程的创新方法，该方程被广泛应用于物理学、金融学和生态学等多个领域中的非布朗运动建模。我们利用分数评分函数和物理信息的神经网络（PINN）来解决由维度增加引起的数字溢出和指数衰减解的问题。引入分数评分函数使得 FPL 方程可以转化为一个没有分数 Laplacian 的二阶偏微分方程，从而可以使用标准的物理信息神经网络（PINN）进行求解。我们提出了两种方法来获取分数评分函数：分数评分匹配（FSM）和得分 - fPINN 用于拟合分数评分函数。虽然 FSM 更具成本效益，但它依赖于已知的条件分布。另一方面，得分 - fPINN 则不依赖于特定的随机微分方程（SDEs），但需要计算 PINN 模型的导数，这可能更加昂贵。我们在各种 SDEs 上进行了实验，证明了我们的方法在处理高维问题时具有数值稳定性和效果，从而在解决 FPL 方程中的维度诅咒方面取得了重要进展。

Jun, 2024

通过引入深度神经网络对偏微分方程进行逼近，我们研究了有界区间内的动力学 Fokker-Planck 方程的渐近行为及其它物理相关宏观量，包括边界条件对于渐近行为的影响，以及神经网络解的分析解的收敛性。在 Deep learning 算法中使用 PyTorch 库、tanh 激活函数和 Adam 优化器。

Nov, 2019

本研究探讨了基于分数的生成模型，其通过加噪声扰动来学习一组对应于数据密度的噪声条件分数函数，并导出了一个叫做分数 Fokker-Planck 方程的相应方程，对于噪声扰动后的数据密度的条件分数进行特征化，同时还证明了满足 Fokker-Planck 方程是有益的，因为它可以提高可能性和保守性程度，因此，提出了一个正则化的 DSM 目标来强制满足分数 Fokker-Planck 方程，并在各种数据集上证明了其有效性。

Oct, 2022

提出了一种计算方法，利用粒子系统的均值场极限模拟 Fokker-Planck 方程的时间演化，并使用梯度对数密度的统计学估计值来近似算法，表现出更准确和波动较小的统计学结果。

Jun, 2020

本文提出了一种基于 opPINN 框架的混合模型，采用物理纹理神经网络和操作符学习逼近 Fokker-Planck-Landau 方程的解，并利用提前训练的替代模型，实现复杂 Landau 碰撞积分的高效计算。

Jul, 2022

本文介绍了一种从具有 Langevin 方程描述的随机系统的噪声数据中提取漂移和扩散项，并确定动力学的确定性规律和波动力的方法，并通过对一维和二维噪声数据的模拟应用进行了验证。

Mar, 1998

连续时间的深度卡尔曼滤波器 (DKF) 可以近似实现一类非马尔可夫和条件高斯信号过程的条件概率分布，适用于数学金融中的债券和期权价格模型校准等传统基于模型的过滤问题。

Oct, 2023