Nov, 2023

Wasserstein空间中的流形学习

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TL;DR本文旨在建立流形学习算法在紧凸子集上绝对连续概率测度空间中的理论基础，其中测度空间以Wasserstein-2距离W度量。我们首先介绍了概率测度子流形Λ的一种自然构造，配备了度量Wλ，这是W对Λ的测地距离限制。与其他构造形成对比，这些子流形不一定是平坦的，但仍然允许类似于Riemann流形的局部线性化。然后，我们展示了如何仅通过Λ的样本集合和外在Wasserstein距离W来学习（Λ，Wλ）的潜在流形结构。特别地，我们展示了度量空间（Λ，Wλ）可以从具有节点Λ样本集合和边权重W(λi, λj)的图中，按照Gromov-Wasserstein的意义上逐渐恢复。此外，我们通过对从λ到足够接近和不同的样本Λ集合中，使用最优输运映射的合适“协方差算符”的谱分析，展示了如何渐近地恢复样本λ处的切空间。本文最后给出了一些关于子流形Λ的具体构造以及通过谱分析恢复切空间的数值例子。
发现论文，激发创造
  • 持久性Fisher核函数: 一种用于持久性图的Riemannian流形核函数

    本文提出了一种Persistence Fisher（PF）核，可以应用于统计分析，该核的优势在于它可以测量基于坚固的拓扑特征提取的非向量数据的相似性，是对Wasserstein距离的积极补充，以及在特征提取和机器学习算法中一些其他有用的性质，例如稳定性和无穷可分性。

    Feb, 2018

  • 利用椭球分布的Wasserstein空间泛化点嵌入

    在机器学习中嵌入复杂对象是一个长期存在的问题。我们在这项工作中提出了一种方法，将对象作为椭圆概率分布嵌入。我们使用2-Wasserstein度量进行测量，并将它们用于词的嵌入和可视化。

    May, 2018

  • 子空间鲁棒瓦热斯坦距离

    本文针对高维离散量之间的 Wasserstein 距离提出了具有鲁棒性的“Max-Min”方案，通过将量投影到一个较低维的子空间来最大化它们之间的距离。此外，我们提出了一种基于熵正则化的算法来解决相关问题，并在实验中显示了其优越性。

    Jan, 2019

  • 黎曼框架中的Gromov-Wasserstein平均化

    应用Gromov-Wasserstein距离的Riemannian框架，我们开发了一种在任意大小和对称性矩阵的空间中进行统计任务和网络数据分析的实用工具，并对该“空间”的切向结构和Fréchet函数的梯度流进行了理论上的探索。

    Oct, 2019

  • 用Wasserstein距离估计切空间和维数

    使用本地PCA算法估计嵌入的欧几里得空间中光滑紧致亚流形的维数和正切空间需要的样本点数具有数学严格的上界，该估计考虑了非均匀数据分布和可能跨越亚流形变化的噪声，并允许在多个点上同时进行估计。

    Oct, 2021

  • 球形切片-瓦热斯坦

    本文介绍了一种新的基于球面的Sliced-Wasserstein距离测度方法，该方法基于对圆上Wasserstein距离的封闭解和球面Radon变换的新构建，从而使得SW的差异测量得以扩展至流形，同时该方法的高效实现有助于在球面数据表示的机器学习应用中实现样本采样、密度估计和超球自编码器等。

    Jun, 2022

  • 稀疏正则化最优输运的流形学习

    通过对优化传输具有二次正则化的对称版本的利用来构建稀疏且自适应的亲和矩阵的流形学习方法，从而检测数据嵌入的潜在流形是广泛一类下游分析的先决条件。我们证明了连续极限中产生的核函数与拉普拉斯类型算子一致，并在模拟中展示了对异方差噪声的鲁棒性，我们还确定了适用于离散数据的计算该优化传输的高效计算方案，并证明在一系列示例中它优于竞争方法。

    Jul, 2023

  • 关于随机向量的仿射变换的Wasserstein距离

    论文阐述了位于Wasserstein空间的数据流形学习中的关于随机向量在$\mathbb{R}^n$中的二次Wasserstein距离的一些已知下界，重点考虑应用于数据的仿射变换。具体而言，通过计算协方差矩阵之间的Bures度量，给出了关于在$\mathbb{R}^2$中具有不相关分量的随机向量的旋转副本的具体下界。我们还推导了由仿射映射组成的上界，从而产生了多样的微分同胚，应用于初始数据度量。我们将这些界限应用于各种分布，包括位于$\mathbb{R}^2$中的1维流形上的分布，并展示了界限的质量。最后，我们提出了一个可以应用于流形学习框架中的模仿手写数字或字母数据集的框架。

    Oct, 2023

  • 基于子空间投影的最优运输在机器学习应用中的利用

    使用投影和子空间的替代方法优化原始的最优输运问题，同时研究其在不同领域的应用，包括黎曼流形、不平衡最优输运问题、梯度流和概率测度空间中的Busemann函数以及Gromov-Wasserstein距离的推广。

    Nov, 2023

  • Cartan-Hadamard流形上的切片Wasserstein距离和流动

    在这份研究论文中，我们探讨了在已知非欧几里德几何特性的数据上，机器学习方法在黎曼流形上的应用以及最优输运方法在该领域的研究。我们提出了在卡尔曼-哈达玛德流形上的分片瓦砾斯坦距离，该方法在欧几里德空间上具有闭合解，并且我们还探索了该方法在其他几何空间的应用，以及近似计算其瓦砾斯坦梯度流的非参数方案。

    Mar, 2024