Nov, 2023
非紧支持测度之间的熵正则最优输运映射估计
Estimation of entropy-regularized optimal transport maps between non-compactly supported measures
Matthew Werenski, James M. Murphy, Shuchin Aeron
TL;DR本文主要讨论了在源测度和目标测度均为次高斯测度的情况下，估计具有平方欧氏距离成本的熵正则化最优传输（EOT）映射的问题，并指出了在目标测度具有紧支集或强对数凹性时，即使采用了最近提出的样本内估计器，期望均方 $L^2$ 误差仅以至少 $O (n^{-1/3})$ 的速率衰减，而对于一般次高斯情况，期望 $L^1$ 误差以至少 $O (n^{-1/6})$ 的速率衰减，并且这些结果在正则化参数上具有多项式依赖性。由于这些结果消除了对紧支集的要求，因此尽管与源测度和目标测度均为紧支集（平方 $L^2$ 误差以速率 $O (n^{-1})$ 收敛）或源测度为次高斯而目标测度为紧支集（平方 $L^2$ 误差以速率 $O (n^{-1/2})$ 收敛）的已知结果相比还不够优化，但它们具有重要意义。证明技巧利用了偏差 - 方差分解，其中方差通过标准的集中度结果进行控制，而偏差则通过 T1 - 传输不等式以及在次高斯假设下估计 EOT 成本的样本复杂性结果来处理。实验结果显示了对方差项控制的松弛性，并最后提出了几个开放性问题。