研究发现，通过过度参数化，深度神经网络能够在插值训练数据的同时实现卓越的泛化性能，并且在测试误差上具有双下降现象，该现象可以通过集成平均估计器进行抑制。

Mar, 2020

本文研究是否可以通过使用优化正则化方法避免双重下降现象。理论上，我们证明了对于某些线性回归模型，通过正则化可以实现测试性能的单调性增长，我们还通过实验证明了优化的正则化方法可以缓解双重下降现象。

Mar, 2020

本文研究深度学习中的双下降现象，即当训练样本数N接近模型参数数P或者输入维度D时，神经网络的泛化误差会出现峰值，本文提供了理论解释，并探讨了非线性对此现象的影响及正则化方法的应用。

Jun, 2020

本文研究表明，随着参数数量的增加，深度神经网络会呈现出“双下降”的特性，同时，随着训练时间的增长，也存在着“按时间下降的双重下降”效应，这在实践中导致训练时间过长，基于验证表现的早停可能导致非最优泛化。作者提出了一种可以从理论上解释“按时间下降的双重下降”的模型，并提供了两种方法来消除这种效应。通过理论分析和实验验证表明，消除缓慢学习特征或修改训练方式可以消除“按时间下降的双重下降”，并且改善模型泛化性能。

Aug, 2021

本文使用影响函数来推导适当的人群损失和下界表达式，研究了损失函数对双下降的影响，发现神经网络和其Hessian光谱在插值阈值附近存在有趣的属性。

Mar, 2022

在深度学习模型中，找到最佳大小对于节能取得高广泛影响。 通过恰当的条件，可能避免双下降现象，其中模型大小增长时性能会先变差然后变好，以维持高泛化的效果需要充分过参数化的模型，但添加太多参数会浪费培训资源。在复杂情况下，正则化已经对避免双下降产生了积极作用。

Feb, 2023

通过对学习表征的特征空间进行全面分析，我们揭示了双下降现象是在用带有噪声数据训练的不完美模型中产生的，它首先通过拟合噪声数据进行学习，然后通过超参数化添加隐式正则化，从而具备了将信息与噪声分离的能力。我们推断双下降现象不应该在经过良好正则化的模型中发生。

Oct, 2023

传统统计学智慧揭示了模型复杂度和预测误差之间的关系，但最近的研究提出了双峰现象的理论，即在参数个数超过样本大小时，测试误差会出现第二次下降。本研究挑战了此理论，并通过对经典统计机器学习方法的细致研究，提出了双峰现象的解释，认为其位置与插值阈值无直接关联，并且通过采用非参数统计学的视角，证明其曲线实际上符合传统的凸形状，解决了双峰现象和统计直觉之间的矛盾。

Oct, 2023

将经验风险最小化与容量控制结合是机器学习中控制泛化差距和避免过拟合的经典策略。然而，在现代深度学习实践中，非常庞大的超参数化模型（例如神经网络）被优化以完美拟合训练数据，并且仍然具有出色的泛化性能。在插值点之后，增加模型复杂性似乎实际上降低了测试误差。本教程解释了双重下降的概念及其机制，并引入了具有关键作用的归纳偏差，通过选择一种平滑的经验风险最小化器，从多个插值解决方案中选择一个。最后，第三部分探讨了两个线性模型中的双重下降，并从最近相关的工作提供了其他视角。

Mar, 2024

对两层线性神经网络中的epoch-wise双下降现象进行研究，通过推导出标准线性回归模型的学习动力学和具有二次权重的线性两层对角网络之间的梯度流，识别了额外的导致epoch-wise双下降的因素，进而引出了对真正深度模型的未知因素的进一步问题。

Jul, 2024