本文提出了一种基于物理约束的卷积神经网络（PC-CNN），用于从稀疏观测解推断具有空间时间非线性偏微分方程的高分辨率解，展示了对于一个高维的、有精细空间时间尺度的混沌湍流运动的结果，并且通过在 CNN 中约束先前的物理知识，可以推断出未解决的物理动态，无需在训练中使用高分辨率数据集，从而为实验数据和低分辨率模拟提供了超分辨率的机会。

Jun, 2023

该研究提出了一种名为 PC-CNN 的物理约束卷积神经网络来发现基于偏微分方程的物理系统的空间和时间解，并从受到大量多模式系统误差损坏的数据中揭示解决方案，该方法是强大且灵活的。

Jun, 2023

本文提出了一种新型的混合反向问题复合框架，将深度神经网络的高表现力与现有偏微分方程数值算法相结合，通过语义自编码器的自定义层，将计算数学、机器学习和模式识别技术融合在一起，实现了域特定知识和物理约束的综合应用，解决了大量数据中的未知字段这个问题，称之为混合反向 PDE 网络 (BiPDE 网络)，并在一维和二维空间中的泊松问题中，以及一维的时间依赖和非线性 Burgers 方程中，应用和证明了其可行性和噪声鲁棒性。

Jan, 2020

本文提出了一种新的物理约束 CNN 学习架构，用于处理非均匀的边界条件和不规则的几何形状，通过椭圆坐标映射和卷积神经网络，该方法在解决参数化 PDE 时比 FC-NN PINN 具有更高的准确性和效率。

Apr, 2020

提出一个新的基于物理约束的卷积 - 循环神经网络（PhyCRNet 和 PhyCRNet-s）框架来解决非线性偏微分方程（PDEs），并且在 3 个非线性 PDEs 数值求解的实验中表现出了优越的解决精度、外推性和泛化性能。

Jun, 2021

该论文通过偏微分方程的理论框架，提出了三种新型的 ResNet 神经网络架构，分别属于抛物线和双曲线类型的 CNN，能够提供深度学习的新算法和思路，并用数值实验证明了它们的竞争力。

Apr, 2018

本研究介绍了一种新型离散 PINN 框架，基于图卷积网络和 PDE 的变分结构，能够在前向和反向设置中严格施加边界条件和吸收稀疏数据，适用于处理不规则几何形状和非结构化网格等应用领域。

Jul, 2021

本文提出了一种新颖的基于物理信息的神经网络框架，用于解决时间依赖偏微分方程，利用离散余弦变换对空间频率进行编码，再利用循环神经网络处理时间演化，从而实现对问题的时空动态的潜在表达，提高了物理相关模型的效率和灵活性，并在 Navier-Stokes 方程的 Taylor-Green 涡旋解上实现了最先进的性能。

Feb, 2022

本文介绍 PhICNet 的混合框架，将基于物理的数值模型与深度学习结合，实现源识别和预测。实验结果表明，该模型可以长时间预测动态和确定外部引力源。

Apr, 2020

本文介绍了一种新的技术方法，将机器学习的两种方法进行融合，通过物理知识驱动的神经网络和卷积神经网络相结合，解决了部分微分方程（PDE）的求解问题，实现了快速且连续的解决方案。通过在不需要预先计算训练数据的情况下，只使用物理信息的损失函数进行训练，同时展示了该方法在不可压缩 Navier-Stokes 方程和阻尼波动方程中的应用。

Sep, 2021