Jun, 2024

带有隐藏层级连接的物理启发神经网络的PDE近似的误差分析与数值算法

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TL;DR通过隐藏层级连接的物理信息神经网络方法，结合了隐藏层级连接的前馈神经网络、改进的时间步进策略和逼近偏微分方程的物理信息方法。我们分析了该方法在两种类型的偏微分方程（抛物型和双曲型）中的收敛性和误差限定，并展示了通过长时间段的动态模拟来有效控制其解的逼近误差。该方法原则上允许两个或更多个隐藏层级，并且在第二个隐藏层级之后，可以使用任意常用的平滑激活函数。基于所提出的算法，我们提出了适用于这些偏微分方程的适当训练损失函数，这使得我们的方法与标准的物理信息神经网络（PINN）形式有所不同。通过大量的数值实验证实了该方法的有效性，并验证了理论分析中的某些方面。
发现论文，激发创造
  • 基于物理信息的分布式神经网络求解偏微分方程的数据高效方法

    通过测试传统PINN方法的表达能力，本论文提出了一种分布式PINN（DPINN），并与原方法进行了对比，试图直接使用物理信息神经网络来解决非线性偏微分方程及二维稳态Navier-Stokes方程。

    Jul, 2019

  • 利用快速的、物理启发的 Hermite-Spline CNNs 接近没有数据的 PDEs 的 Spline-PINN 算法

    本文介绍了一种新的技术方法，将机器学习的两种方法进行融合，通过物理知识驱动的神经网络和卷积神经网络相结合，解决了部分微分方程（PDE）的求解问题，实现了快速且连续的解决方案。通过在不需要预先计算训练数据的情况下，只使用物理信息的损失函数进行训练，同时展示了该方法在不可压缩Navier-Stokes方程和阻尼波动方程中的应用。

    Sep, 2021

  • 可证明正确的物理信息神经网络

    本文介绍了一种基于物理信息的神经网络（PINN）来解决偏微分方程的方法，并提出了一种基于容差的正确性条件的后训练框架（CROWN），用于限制PINN残差误差，并在经典PDE和现实应用中进行了实际效果测试。

    May, 2023

  • 物理信息边界积分网络（PIBI-Nets）：一种用于求解偏微分方程的数据驱动方法

    使用基于物理的深度神经网络的边界积分网络来解决少一个维度的偏微分方程问题，并在地下水流重建方面展示了出色的性能。

    Aug, 2023

  • 利用物理信息化神经网络计算高维空间的最小曲面

    通过物理相关神经网络 (Physics-Informed Neural Network，PINN) 对高维偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）进行训练，实现了对极小曲面的数值逼近，避免了维度灾难问题，并提供了方法的功能性测试和性能限制探索。

    Sep, 2023

  • 鲁棒的物理信息神经网络

    我们介绍了一种鲁棒版本的物理启发式神经网络（RPINN）来近似求解偏微分方程（PDEs），该方法利用能量范数计算的残差和格拉姆矩阵的倒数构建了损失函数，在两个空间维度的拉普拉斯问题和对流扩散问题中进行了测试，结果表明RPINN是一种鲁棒的方法，其损失函数与解的真实误差在能量范数下相符，因此我们可以知道训练过程进行得如何，并在达到所需精度的真实误差下停止训练来获得PDE解的神经网络逼近。

    Jan, 2024

  • 基于物理信息的神经网络及其在物理信息机器学习中的相关模型的数值分析

    对物理启发机器学习中的物理信息神经网络和相关模型的数值分析结果进行综合评述，并重点阐述了在近似偏微分方程时PINN所产生的误差在各个组成部分的行为，以及与PDE类型和基础域维度相关的逼近、概括和训练误差的可用结果。同时阐明了解的稳定性和解的规则性对误差分析的作用，最后通过数值结果来说明训练误差对物理启发机器学习中各种模型整体性能的不利影响。

    Jan, 2024

  • 通用亲缘物理信息神经网络在奇异扰动微分方程解中的应用

    本研究解决了物理信息神经网络（PINN）在处理奇异扰动微分方程时难以捕捉边界层的挑战。通过引入通用亲缘物理信息神经网络（GKPINN），利用渐近分析获得边界层先验知识，从而显著提升了边界层的近似效果。研究结果显示，GKPINN在减少$L_2$误差方面提升了两个到四个数量级，并显著加快了收敛速度，展现了优异的泛化能力。

    Aug, 2024

  • ASPINN：解决奇异摄动微分方程的渐近策略

    本研究针对奇异摄动微分方程（SPDEs）在边界层快速变化导致的求解难题，提出了渐近物理信息神经网络（ASPINN）。该方法通过在边界层设置指数层，提高了对SPDEs的拟合能力，并有效减少了全连接层的数量，降低了训练成本。实验结果表明，ASPINN在边界层问题上表现出色，相较于以往方法在准确性和性能上都有明显提升。

    Sep, 2024

  • 基于集合的物理信息神经网络

    本研究解决了传统物理信息神经网络（PINNs）在处理偏微分方程（PDEs）时忽略物理系统内隐含依赖的问题。我们提出的SetPINNs方法灵感来源于有限元方法，能够有效捕捉空间和时间依赖，并结合物理约束。实验结果表明，SetPINNs在多个物理系统中表现出更佳的泛化性能和准确性，显著优于现有方法。

    Sep, 2024