Jun, 2024

Score-fPINN: 高维福克-普朗克-伽马方程的基于分数分数为基础的物理信息神经网络

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TL;DR我们介绍了一种用于解决高维Fokker-Planck-Lévy (FPL)方程的创新方法，该方程被广泛应用于物理学、金融学和生态学等多个领域中的非布朗运动建模。我们利用分数评分函数和物理信息的神经网络（PINN）来解决由维度增加引起的数字溢出和指数衰减解的问题。引入分数评分函数使得FPL方程可以转化为一个没有分数Laplacian的二阶偏微分方程，从而可以使用标准的物理信息神经网络（PINN）进行求解。我们提出了两种方法来获取分数评分函数：分数评分匹配（FSM）和得分-fPINN用于拟合分数评分函数。虽然FSM更具成本效益，但它依赖于已知的条件分布。另一方面，得分-fPINN则不依赖于特定的随机微分方程（SDEs），但需要计算PINN模型的导数，这可能更加昂贵。我们在各种SDEs上进行了实验，证明了我们的方法在处理高维问题时具有数值稳定性和效果，从而在解决FPL方程中的维度诅咒方面取得了重要进展。
发现论文，激发创造
  • 基于有限基础物理知识的神经网络（FBPINNs）：一种可扩展的分域分解方法，用于求解微分方程

    本文提出Finite Basis PINNs (FBPINNs)方法用于解决大规模微分方程问题。FBPINNs受到经典有限元方法的启发，使用神经网络学习有 紧支撑的有限基函数来表示微分方程的解，使其具有网格自由性和并行解决多尺度问题的能力。数值实验表明，FBPINNs既能够解决小模型问题，还能够高效准确地解决大规模复杂问题，比标准的PINNs方法具有更好的性能表现。

    Jul, 2021

  • 物理知识指导神经网络的可能失效模式表征

    本文研究了物理知识对神经网络的影响，尤其是对物理意义的学习。研究发现，使用以前的方法，神经网络会容易受到微妙的问题的困扰。为了解决这个问题，我们提出了课程规范化和序列到序列学习两种新的方法。通过使用这两种方法，我们可以取得比以前更好的结果。

    Sep, 2021

  • 基于Laplace的分数阶物理信息神经网络Laplace-fPINNs用于解决亚扩散的正向和反向问题

    本研究提出了一种称为Laplace-based fractional physics-informed neural networks (Laplace-fPINNs)的新方法，通过避免引入大量辅助点和简化损失函数有效解决高维分数扩散方程的正演和反演问题。数值结果证明，Laplace-fPINNs方法能够有效地解决高维分数扩散方程的正演和反演问题。

    Apr, 2023

  • 基于物理知识的神经网络分裂方法推断整数和分数阶神经元模型的动力学

    本研究提出了一种新的方法，splitting PINN, 通过将物理信息神经网络（PINNs）与分裂方法相结合，成功地应用到前向动力系统中，改进了神经元模型的精度，并发展出了一个$L^1$方案来离散分数阶导数，在解决整数和分数阶神经元模型等方面具有潜在的优势。

    Apr, 2023

  • 一类非线性动力系统的基于物理的解决方案评估研究中的静态傅克-普朗克方程

    通过物理信息神经网络（PINN）框架，解决一类非线性随机动力学系统的Fokker-Planck方程，通过Duffing、Van der Pol和Duffing-Van der Pol振子的几个示例评估PINN在预测PDF、捕捉PDF的P分岔和处理高维系统方面的能力和准确性，并通过与蒙特卡洛模拟和现有文献的比较证明PINN可以有效应对所有上述问题，同时表明使用迁移学习可以大大减少PINN解决方案的计算时间。

    Sep, 2023

  • 具有随机平滑的物理信息神经网络中的偏差-方差权衡问题

    通过引入高斯噪声进行随机平滑以及根据PDE非线性性提出的偏差校正技术，我们综合分析了Randomized Smoothing PINN的偏差问题，并在有限维度和非线性PDE问题上研究了RS-PINN的性能和效果。结果表明，在高维度问题中，将有偏差的版本与无偏差的版本相结合，可以在偏差和方差之间找到平衡点，以实现更快的收敛和更高的准确性。

    Nov, 2023

  • 使用导数运算矩阵加速分数阶部分积分神经网络

    提出一种新的运算矩阵方法以加速分数型物理信息神经网络(fPINNs)的训练，方法包括对分数型Caputo算子的非均匀离散化，通过矩阵-向量乘积替代自动微分，在各种微分方程中得到验证和数值结果的支持。

    Jan, 2024

  • 面向高维弗克-普朗克方程的基于得分的物理信息神经网络

    通过使用基于评分函数的求解器，我们提出了一种新颖的方法来解决高维度Fokker-Planck方程中的维数灾难问题，并在不同设置下对其稳定性、速度和性能进行了评估。

    Feb, 2024

  • GMC-PINNs：一种解决非规则域上分数阶偏微分方程的新型通用蒙特卡罗PINNs方法

    提出了一种用于解决不规则域上分数阶偏微分方程（fPDEs）的新型广义蒙特卡洛物理信息神经网络（GMC-PINN）方法，并通过多个示例表明其有效性和计算效率高于原始的fPINN方法。

    Apr, 2024

  • 应用物理感知神经网络解决分数和调制分数偏微分方程中的维度诅咒

    通过将Monte Carlo分数PINN（MC-fPINN）扩展到温和分数PDE，我们提出了Monte Carlo温和分数PINN（MC-tfPINN），以应对这些问题，从而在非常高的维度中在准确性和收敛速度方面始终优于原始版本。

    Jun, 2024