深度学习在计算科学和工程领域中的应用取得了显著的成功，本文介绍一种基于物理学的神经网络（PINNs）算法，它可以嵌入偏微分方程到神经网络中，同时提出一种新的基于残差的自适应细化方法（RAR）来提高计算效率，并介绍了一个名为DeepXDE的Python库用于求解正问题和反问题，以及支持基于构造性实体几何技术的复杂几何域和函数的定义和定制化。

Jul, 2019

本文对深度神经网络用于偏微分方程(PDEs)求解的现状和潜在应用进行了综述，分析和分类了相关方法在科学研究和工程场景中的应用，介绍了这一领域的来源、历史、特点、类型以及未来趋势。

Oct, 2022

本文介绍了一种基于物理信息的神经网络（PINN）来解决偏微分方程的方法，并提出了一种基于容差的正确性条件的后训练框架（CROWN），用于限制PINN残差误差，并在经典PDE和现实应用中进行了实际效果测试。

May, 2023

通过结合经典数值解法和物理感知框架的方法，本研究在三维非规则几何体上测试了基于图神经网络的解决偏微分方程问题的可行性。

Oct, 2023

基于数据驱动的机器学习方法正在越来越多地应用于解决偏微分方程（PDEs），特别是在训练运算符方面展现出了显著的成功。在本文中，我们研究了使用绑定权重神经网络架构求解稳态PDEs的优势，并证明了FNO-DEQ可以近似解决任何可写为固定点方程的稳态PDE。

Nov, 2023

我们介绍了一种鲁棒版本的物理启发式神经网络（RPINN）来近似求解偏微分方程（PDEs），该方法利用能量范数计算的残差和格拉姆矩阵的倒数构建了损失函数，在两个空间维度的拉普拉斯问题和对流扩散问题中进行了测试，结果表明RPINN是一种鲁棒的方法，其损失函数与解的真实误差在能量范数下相符，因此我们可以知道训练过程进行得如何，并在达到所需精度的真实误差下停止训练来获得PDE解的神经网络逼近。

Jan, 2024

通过设计模块化和强健的框架，引入核加权校正残差（CoRes）将核方法和深度神经网络相结合，提高了求解非线性偏微分方程系统的性能，并显著降低了神经网络对随机初始化、架构类型和优化器选择等因素的敏感性。

Jan, 2024

该研究针对物理信息神经网络（PINNs）在使用大型深度神经网络架构处理偏微分方程（PDE）驱动的正向和反向问题时性能下降的问题进行了研究，发现这种行为的根源是采用了不适合的初始化方案，导致网络对导数的训练能力较差，最终导致PDE残差损失的不稳定最小化。为了解决这个问题，引入了一种名为Physics-informed Residual Adaptive Networks（PirateNets）的新型架构，旨在实现深层PINN模型的稳定和高效训练。PirateNets采用一种新颖的自适应残差连接，允许网络在训练过程中作为浅层网络逐渐加深。研究还表明，所提出的初始化方案可以将给定PDE系统的适当归纳偏差编码到网络架构中。通过全面的实证研究，证明了PirateNets更易优化，并且可以从较大深度中获得准确性，最终在各种基准测试中取得了最先进的结果。本文附带的代码和数据将在https://github.com/PredictiveIntelligenceLab/jaxpi公开提供。

Feb, 2024

物理启发的神经网络（PINNs）通过将深度学习与基本物理原理相结合，为解决偏微分方程中的正向和反向问题提供了一种有前途的方法。本研究从神经网络架构的角度深入探讨了PINN优化的复杂性，利用神经切向核（NTK），揭示了高斯激活提供了比其他激活函数更有效训练PINNs的优势。在数值线性代数的启示下，我们引入了一种经过预处理的神经网络架构，展示了这种定制架构如何增强优化过程。我们通过对科学文献中已有的偏微分方程进行严格验证，证实了我们的理论发现。

Feb, 2024

基于物理信息的深度学习在求解偏微分方程方面已成为一种有希望的替代方法，但是对于复杂问题，训练这些网络仍然具有挑战性，导致精度和效率不理想。本文提出了一种点对点自适应加权方法，通过平衡不同训练点上残差衰减速度，解决了普通物理信息神经网络的失效问题。通过大量的数值结果，我们证明了所提出的残差衰减平衡方法具有权重有界、预测准确度高、收敛速度快、训练不确定性低、计算成本低以及超参数调节容易等多种优势。

Jun, 2024