Symplectic ODE-Net是一个深度学习框架，使用Hamilton动力学对物理系统的动态进行建模，提供物理上一致的可解释的模型以及针对基于模型的控制策略的新可能性。

Sep, 2019

本文提出了一种名为对称循环神经网络的学习算法，其可以从观察到的轨迹中捕获物理系统的动力学，并通过神经网络模型系统的哈密顿函数，结合较为复杂的多步训练和初始状态优化来解决哈密顿系统所涉及的数值问题，从而成功的处理包括噪声和复杂系统在内的哈密顿系统及其他动力学系统。并提出如何用扩展的SRNN集成方案来处理像弹球这样的非常振动力学系统。

Sep, 2019

提出了新的辛网络（SympNets）来识别基于线性，激活和梯度模块组合的数据的哈密顿系统。实验结果表明，SymNets具有很好的泛化能力，并且比基线模型更快。

Jan, 2020

提出一种有效且轻量级的学习算法——辛泰勒神经网络（Taylor-nets），用于基于稀疏、短期观察进行连续、长期预测复杂的哈密顿动态系统。该算法基于一种新颖的神经网络架构，它包含两个嵌入对称Taylor级数展开形式术语的子网络，并将四阶辛普勒积分器与神经ODE框架相结合，以学习目标系统的连续时间演化，同时保持其辛结构。在较小的训练数据、短训练周期（预测周期的6000倍）的情况下，该模型表现出了独特的计算优点，具有较高的预测精度、收敛速度和鲁棒性。

May, 2020

利用稀疏回归方法，结合四阶辛普森积分法实现了对哈密顿动力学系统的建模，能够在数据有限噪声较大的情况下较好地预测和求出系统规律。

Jun, 2020

使用生成函数的神经网络逼近演化映射，以实现非线性时间序列的学习和预测。

Mar, 2021

使用数据学习Hamilton系统的框架，基于lifting假设，将非线性Hamilton系统用具有三次Hamilton量的非线性系统表示，并通过强制施加Hamilton结构和辛自编码器来学习二次动力系统，实现了系统的长期稳定性和相对较低的模型复杂度。

Aug, 2023

使用物理上知悉的神经网络方法来分析含有一种运动第一积分的非线性哈密顿系统，并提出了一种结构，将现有的哈密顿神经网络结构与Adaptable Symplectic循环神经网络相结合，可以在整个参数空间内预测动力学，保留哈密顿方程以及相空间的辛结构。同时，利用神经网络的高维非线性能力，结合Long Short Term Memory网络进行判断嵌入定理的实现，构造系统的延迟嵌入，并将拓扑不变吸引子映射到真实形式。该方法对于单参数势能有效，并且即使在较长时间内也能提供准确的预测结果。

Jul, 2023

为了解决大维物理系统不同参数选择下的计算成本过高问题，该研究提出了模型简化和神经网络结构的新方法，其中关键是保存系统的辛结构和利用网络设计中的微分几何结构进行训练，该方法在准确性方面表现显著优于现有设计。

Dec, 2023

本研究解决了现有神经网络模型在高维多体哈密顿系统中学习动态的困难，提出了Symplectic Graph Neural Networks（SympGNNs），有效结合了辛映射与图神经网络的置换等变性。通过两种变体（G-SympGNN与LA-SympGNN）的实验，表明SympGNN在高维系统识别与节点分类中表现出色，且能克服图神经网络中的两个主要挑战：过平滑与异质性。

Aug, 2024