ASPINN：解决奇异摄动微分方程的渐近策略
通过测试传统PINN方法的表达能力，本论文提出了一种分布式PINN（DPINN），并与原方法进行了对比，试图直接使用物理信息神经网络来解决非线性偏微分方程及二维稳态Navier-Stokes方程。
Jul, 2019
本文提出Finite Basis PINNs (FBPINNs)方法用于解决大规模微分方程问题。FBPINNs受到经典有限元方法的启发，使用神经网络学习有 紧支撑的有限基函数来表示微分方程的解，使其具有网格自由性和并行解决多尺度问题的能力。数值实验表明，FBPINNs既能够解决小模型问题，还能够高效准确地解决大规模复杂问题，比标准的PINNs方法具有更好的性能表现。
Jul, 2021
本文介绍了一种新的技术方法，将机器学习的两种方法进行融合，通过物理知识驱动的神经网络和卷积神经网络相结合，解决了部分微分方程（PDE）的求解问题，实现了快速且连续的解决方案。通过在不需要预先计算训练数据的情况下，只使用物理信息的损失函数进行训练，同时展示了该方法在不可压缩Navier-Stokes方程和阻尼波动方程中的应用。
Sep, 2021
使用基于物理的深度神经网络的边界积分网络来解决少一个维度的偏微分方程问题，并在地下水流重建方面展示了出色的性能。
Aug, 2023
我们介绍了一种鲁棒版本的物理启发式神经网络（RPINN）来近似求解偏微分方程（PDEs），该方法利用能量范数计算的残差和格拉姆矩阵的倒数构建了损失函数，在两个空间维度的拉普拉斯问题和对流扩散问题中进行了测试，结果表明RPINN是一种鲁棒的方法，其损失函数与解的真实误差在能量范数下相符，因此我们可以知道训练过程进行得如何，并在达到所需精度的真实误差下停止训练来获得PDE解的神经网络逼近。
Jan, 2024
该研究论文介绍了物理知识驱动的神经网络在求解偏微分方程中的应用，并提出了一种新的区域优化训练范式，通过在连续邻域区域进行模型优化，有效降低了模型的泛化误差，尤其对于高阶约束的偏微分方程。该新范式产生了一种实用的训练算法RoPINN，通过简单且有效的Monte Carlo抽样方法在信任区域内平衡了抽样效率和泛化误差。实验证明，RoPINN显著提升了各种PINNs在多种偏微分方程上的性能，而无需额外的反向传播或梯度计算。
May, 2024
通过隐藏层级连接的物理信息神经网络方法，结合了隐藏层级连接的前馈神经网络、改进的时间步进策略和逼近偏微分方程的物理信息方法。我们分析了该方法在两种类型的偏微分方程（抛物型和双曲型）中的收敛性和误差限定，并展示了通过长时间段的动态模拟来有效控制其解的逼近误差。该方法原则上允许两个或更多个隐藏层级，并且在第二个隐藏层级之后，可以使用任意常用的平滑激活函数。基于所提出的算法，我们提出了适用于这些偏微分方程的适当训练损失函数，这使得我们的方法与标准的物理信息神经网络（PINN）形式有所不同。通过大量的数值实验证实了该方法的有效性，并验证了理论分析中的某些方面。
Jun, 2024
本研究解决了物理信息神经网络（PINN）在处理奇异扰动微分方程时难以捕捉边界层的挑战。通过引入通用亲缘物理信息神经网络（GKPINN），利用渐近分析获得边界层先验知识，从而显著提升了边界层的近似效果。研究结果显示，GKPINN在减少$L_2$误差方面提升了两个到四个数量级，并显著加快了收敛速度，展现了优异的泛化能力。
Aug, 2024
本研究解决了对流扩散方程中单调扰动问题的数值解难题，传统方法难以准确解析边界层。通过引入物理启发的神经网络（PINNs），本文开发了两种新方法，不仅修正了使用有限差分法获得的离散解，还改进了未扰动问题的简化解，显著提高了解决此类问题的精度和稳定性。
Sep, 2024