通过策略初始化来减少虚拟博弈中的均衡近似误差，其中最具优势的方法是用 maximin 求解非凸二次规划，与传统方法相比，使用 5 种初始化的情况下，可以将近 75％的近似误差降低。

Mar, 2022

Fictitious play, proposed by Brown and shown to converge by Robinson, may not converge at rate O(1/sqrt{t}) as conjectured by Karlin when the payoff matrix of the row player is the identity matrix, but instead may converge as slow as omega(t^-1/n).

Dec, 2014

我们介绍了一种简单的广义形式虚拟博弈算法，用于寻找二人零和游戏的均衡点，该算法实现等价于 Fictitious Play 的广义形式。与类似的广义形式虚拟博弈算法和反事实遗憾最小化算法相比，我们比较了其性能。这三种算法在减少存储需求和计算复杂度方面具有相同的优势，该新算法直观且容易实现，是寻求快速且简便的游戏求解工具的一个吸引人的选择。

Oct, 2023

本文扩展了虚拟博弈在混合博弈中的收敛结果，发现合作和竞争具有互相可转换的线性关系，并研究了 FP 在 Shapley game 中的非收敛现象及其充分条件。

May, 2022

本研究探讨匿名博弈的均衡计算，通过先进行具有适应性的问题到博弈的支付函数计算的算法处理。讨论研究的主题是查询复杂度，即计算精确或近似纳什均衡所需的查询数量。研究发现不能通过查询有效算法找到精确均衡，但可以通过假设效用函数的进一步对称性或关注近似均衡来获得更好的查询复杂度界限。研究涉及的匿名游戏的子类是匿名博弈的相似研究，结论为使用随机算法可以在相应的复杂度下查询到一个近似的纳什均衡，此外也证明了一定数量次的查询才能找到任何 ϵ- 好支持纳什平衡，即使采用随机算法也需要 Ω(n log n) 的复杂度。

Dec, 2014

本研究在多智能体竞争的环境下对零和结构化 Markov 博弈问题的策略优化算法进行了提出和分析，考虑通过上置界乐观算法与虚拟博弈相结合的同时策略优化，从而使双方智能体的总体最优性差距以 $\widetilde {O}(\sqrt {K})$ 的速度收敛，其中 $K$ 为回合数量。

Jul, 2022

该研究提出了一种高效的近似算法，适用于在匿名游戏中寻找纳什均衡，其中玩家的效用虽然不同，但在其他玩家之间没有区别，该算法适用于玩家众多但策略较少的游戏，可在多项式时间内计算出近似的 “纯纳什均衡”，此近似值的上限是 O (s^2L)，此外，该研究还表明可以有一个 “PTAS” 算法，可用于寻找 epsilon。

Oct, 2007

研究了一种基于深度虚假博弈算法的高效工具，来寻找大型 N 玩家随机微分博弈的马尔可夫纳什平衡，并提出了一种新的游戏解耦方法，证明了算法的收敛性，并且在理论假设之外的情况下，提出了大人口游戏的数值结果。

Aug, 2020

在大量玩家的二元行动博弈中，查询复杂度与 ε- 支持纳什均衡的关系是指数级的，并导致自适应动态收敛到近似纳什均衡的速度指数级下降。

Jun, 2013

本文提出了一种深度学习方法 —— 深度虚拟博弈，并应用于计算有限非零和随机微分博弈的纳什均衡，在每个阶段让各个博弈者优化自己的收益，用深度神经网络进行近似求解，基于虚拟博弈策略的深度学习算法具有可扩展性、并行性和模型无关性，并证明了在适当的假设下虚拟博弈收敛于开环纳什均衡。

Mar, 2019