本论文引入了乘法动态模态分解（MultDMD），通过在其有限维近似中强制实现 Koopman 算子的乘法结构，从而更准确地反映 Koopman 算子的谱特性。我们详细阐述了 MultDMD 的理论框架，包括其公式化、优化策略和收敛性质。通过多个示例（包括非线性摆、Lorenz 系统和流体动力学数据），我们证明了 MultDMD 对噪声的出色鲁棒性。

May, 2024

本文研究了基于 Hankel 型数据矩阵的 Dynamic Mode Decomposition 算法在计算无限维 Koopman 算子的特征值和特征函数上的收敛性，证明了在刻画极限动力学系统的哈尔小波基函数上，DMD 算法的向量投影可用于近似函数投影并收敛于 Proper Orthogonal Decomposition。该方法被成功应用于计算流体力学以及其他的动力学系统，是一种可行的数值模拟方法。

Nov, 2016

通过数据驱动的近似方法预测由复杂动力学特征的系统的时间演化是一个有前景的研究方向。本文介绍了一种改进的扩展动态模式分解与字典学习方法，同时确定可观测量的字典及其对应的 Koopman 算符的近似值，并通过伪逆使用自动微分来促进梯度下降计算。我们通过对比 Koopman 方法、状态空间方法和纯 Koopman 方法在不同系统中的性能表现，发现我们的方法显著优于传统方法，并且当 Koopman 方法在每个时间步骤在状态和可观测量空间之间交替时，与状态空间方法的预测结果相当。

Oct, 2023

本文提出了子空间动态模式分解（subspace DMD）作为一种算法，用于带有观测噪声的随机动力系统的 Koopman 分析，并研究了其实证性能。

May, 2017

我们引入 Rigged Dynamic Mode Decomposition (Rigged DMD) 算法，该算法计算 Koopman operators 的广义特征函数分解。通过考虑可观察量的演化，Koopman operators 将复杂的非线性动态转化为适合频谱分析的线性框架。Rigged DMD 通过从系统演化的快照数据中逼近 Koopman operator 的谱微分算子和广义特征函数，以数据驱动的方法应对传统 Dynamic Mode Decomposition (DMD) 技术在连续频谱上的挑战。算法核心是利用测度保持扩展的动态模态分解和高阶核函数进行平滑来构建广义 Koopman 特征函数和模式的波包近似。我们推导了广义特征函数和谱测度的显式高阶收敛定理。此外，我们提出了一种利用时延嵌入构建 rigged Hilbert spaces 的新框架，显著扩展了该算法的适用性。我们提供了示例，包括具有 Lebesgue 频谱、可积 Hamiltonian 系统、Lorenz 系统以及二维正方腔内的高雷诺数驱动流动，演示了 Rigged DMD 的收敛性、效率和多功能性。此工作为未来具有连续频谱的分解的研究和应用铺平了道路。

May, 2024

我们将 Koopman 算子理论做出了新的泛化，它融合了输入和控制的影响，并将其应用于动态模式分解。我们对非线性动态系统进行了证明，展示了如何将其泛化到动态模式分解与控制，以及如何在可操纵系统中产生输入 - 输出模型。

Feb, 2016

Dynamic Mode Decomposition (DMD) 是一种流行的数据驱动分析技术，用于将复杂的非线性系统分解成一组模式，通过谱分析揭示底层的模式和动态特性。本综述全面而系统地研究了 DMD，强调了 Koopman 算子在将复杂非线性动力学转化为线性框架中的作用。我们将 DMD 方法的多元宇宙分类为三个主要领域：线性回归方法、Galerkin 逼近和保结构技术，并研究了每个类别在谱计算中的独特贡献和挑战。该综述通过实例和应用程序提供了 MATLAB 包，以加强对这些方法的实际理解。这项研究作为对各种 DMD 方法的实用指南和理论参考，既适用于专家也适用于新手，并使读者能够深入研究他们在广阔的 DMD 领域中感兴趣的领域。

Nov, 2023

我们研究 Hermitian Dynamic Mode Decomposition（DMD）收敛到自伴随 Koopman 算子的谱特性，DMD 是一种数据驱动方法，用于从离散时间快照中近似表示与未知非线性动力系统相关的 Koopman 算子，同时保持算子在其有限维近似上的自伴性，我们证明在适当的条件下，HDMD 的特征值和特征函数收敛到底层 Koopman 算子的谱特性，并且通过数值实验在二维薛定谔方程上验证了我们的结果。

Jan, 2024

透过引入方差，我们处理了 Koopman 框架中的一些挑战，从而实现了对随机 Koopman 算子的谱特性的可验证计算，并引入了方差 - 伪谱概念来评估统计一致性。最后，我们利用模拟和实验数据展示了其在神经记录中如何揭示对于标准基于期望的动力学模型不可见的重要生理信息。

Aug, 2023

介绍了最新的 Koopman 算子理论及算法发展，重点强调了这些方法在各种应用领域中的作用，同时讨论了机器学习中的重大进展和挑战，这些可能推动未来的发展并显著转变动力系统的理论面貌。

Feb, 2021