Jan, 2024

关于 Hermitian 动态模态分解的收敛性

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TL;DR我们研究 Hermitian Dynamic Mode Decomposition（DMD）收敛到自伴随 Koopman 算子的谱特性，DMD 是一种数据驱动方法，用于从离散时间快照中近似表示与未知非线性动力系统相关的 Koopman 算子，同时保持算子在其有限维近似上的自伴性，我们证明在适当的条件下，HDMD 的特征值和特征函数收敛到底层 Koopman 算子的谱特性，并且通过数值实验在二维薛定谔方程上验证了我们的结果。
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发现论文，激发创造
  • Koopman 操作符的谱特征的遍历理论、动态模态分解与计算

    本文研究了基于 Hankel 型数据矩阵的 Dynamic Mode Decomposition 算法在计算无限维 Koopman 算子的特征值和特征函数上的收敛性，证明了在刻画极限动力学系统的哈尔小波基函数上，DMD 算法的向量投影可用于近似函数投影并收敛于 Proper Orthogonal Decomposition。该方法被成功应用于计算流体力学以及其他的动力学系统，是一种可行的数值模拟方法。

    Nov, 2016

  • 乘法动态模态分解

    本论文引入了乘法动态模态分解（MultDMD），通过在其有限维近似中强制实现 Koopman 算子的乘法结构，从而更准确地反映 Koopman 算子的谱特性。我们详细阐述了 MultDMD 的理论框架，包括其公式化、优化策略和收敛性质。通过多个示例（包括非线性摆、Lorenz 系统和流体动力学数据），我们证明了 MultDMD 对噪声的出色鲁棒性。

    May, 2024

  • 子空间动态模态分解用于随机 Koopman 分析

    本文提出了子空间动态模式分解（subspace DMD）作为一种算法，用于带有观测噪声的随机动力系统的 Koopman 分析，并研究了其实证性能。

    May, 2017

  • 动态模态分解算法的多元宇宙

    Dynamic Mode Decomposition (DMD) 是一种流行的数据驱动分析技术，用于将复杂的非线性系统分解成一组模式，通过谱分析揭示底层的模式和动态特性。本综述全面而系统地研究了 DMD，强调了 Koopman 算子在将复杂非线性动力学转化为线性框架中的作用。我们将 DMD 方法的多元宇宙分类为三个主要领域：线性回归方法、Galerkin 逼近和保结构技术，并研究了每个类别在谱计算中的独特贡献和挑战。该综述通过实例和应用程序提供了 MATLAB 包，以加强对这些方法的实际理解。这项研究作为对各种 DMD 方法的实用指南和理论参考，既适用于专家也适用于新手，并使读者能够深入研究他们在广阔的 DMD 领域中感兴趣的领域。

    Nov, 2023

  • 基于数据的 Koopman 算子近似：拓展动态模态分解

    本文介绍了一种基于数据的方法，用于近似 Koopman 算子的主要特征，其不需要显式的控制方程或与 “黑匣子” 积分器的交互，并演示了该方法的可行性及其潜在应用示例。

    Aug, 2014

  • 动态模态分解 (Dynamic Mode Decomposition) 的欺骗性优化：基于数据驱动的广义特征函数分解用于库普曼算子 (Koopman Operators)

    我们引入 Rigged Dynamic Mode Decomposition (Rigged DMD) 算法，该算法计算 Koopman operators 的广义特征函数分解。通过考虑可观察量的演化，Koopman operators 将复杂的非线性动态转化为适合频谱分析的线性框架。Rigged DMD 通过从系统演化的快照数据中逼近 Koopman operator 的谱微分算子和广义特征函数，以数据驱动的方法应对传统 Dynamic Mode Decomposition (DMD) 技术在连续频谱上的挑战。算法核心是利用测度保持扩展的动态模态分解和高阶核函数进行平滑来构建广义 Koopman 特征函数和模式的波包近似。我们推导了广义特征函数和谱测度的显式高阶收敛定理。此外，我们提出了一种利用时延嵌入构建 rigged Hilbert spaces 的新框架，显著扩展了该算法的适用性。我们提供了示例，包括具有 Lebesgue 频谱、可积 Hamiltonian 系统、Lorenz 系统以及二维正方腔内的高雷诺数驱动流动，演示了 Rigged DMD 的收敛性、效率和多功能性。此工作为未来具有连续频谱的分解的研究和应用铺平了道路。

    May, 2024

  • 装配型再生核希尔伯特空间中具有固有可观测物的库什曼算子

    本研究论文提出了一种基于重构核希尔伯特空间（RKHS）和几何分析（jets）的估计 Koopman 算子的新方法，称为 Jet Dynamic Mode Decomposition（JetDMD）。通过理论分析和数值模拟，论文验证了 JetDMD 方法在精确估计特征值方面的优越性，并在谱分析和动力学系统重建方面提出了基于 rigged Hilbert space 的新方法。

    Mar, 2024

  • 动态模态分解：理论与应用

    本文介绍了一种理论框架，将 DMD 展开为一个逼近线性算子的特征分解，并扩展了 DMD 的应用范围，包括非连续时间序列。文中还提出了线性一致性的概念，帮助理解在低秩数据集上应用 DMD 的潜在缺陷，并且阐明了 DMD 与 Koopman 算子理论以及其他技术之间的联系。此外，作者通过实验证明了新的采样策略可以提高计算效率，并抑制噪声影响，进而证明在特定条件下 DMD 等价于线性反演建模（LIM）。

    Nov, 2013

  • 基于数据驱动的自适应 Koopman 算子光谱分解的扩展动态模态分解与字典学习

    本文利用机器学习中的思想，开发了一种迭代逼近算法，该算法将 EDMD 与可训练字典相结合，使得可以在不需要事先选择固定字典的情况下，适应于不同的问题并有效地进行重构，进一步增强了 Koopman 框架的适用性。

    Jul, 2017

  • 超出预期：用于随机动力系统的剩余动态模态分解和方差

    透过引入方差，我们处理了 Koopman 框架中的一些挑战，从而实现了对随机 Koopman 算子的谱特性的可验证计算，并引入了方差 - 伪谱概念来评估统计一致性。最后，我们利用模拟和实验数据展示了其在神经记录中如何揭示对于标准基于期望的动力学模型不可见的重要生理信息。

    Aug, 2023