本研究提出一种基于无网格神经网络表征的 Benes 模型解密度的新数值方法，并讨论了神经网络方法在非线性滤波模型中的作用。

Mar, 2022

本文提出了一种以高斯过程回归为基础的概率数值逼近方法来解决常微分方程，通过构建一个测量序列，观测高斯过程导数和向量场之间的差值，可以将问题转化为非线性贝叶斯滤波问题，从而推导出新颖的高斯支持 ODE 算法以及粒子滤波方法的非高斯近似。

Oct, 2018

利用采样方法，从数据无关和数据相关的概率分布中提取隐含权重和偏置的神经网络，可以在训练时间和逼近精度方面取得重大突破，并且能够有效解决时变和静态的偏微分方程以及逆问题，带来了光谱收敛和无网格构建基函数等优势。

May, 2024

本文综述了传统的 PDE 数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习 PDE 解算子的新方法，与传统方法相比具有 1000 倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

Jan, 2023

本文利用深度前馈人工神经网络近似求解复杂几何下的偏微分方程，并演示了如何修改反向传播算法来计算网络输出对空间变量的偏导数。此方法基于一种假设解法，只需要前馈神经网络和梯度优化方法，如梯度下降或拟牛顿方法，可以作为网格法无法使用时的有效替代方案。此外，本文还阐述了深度相比于浅度神经网络的优势及其他收敛增强技术的设想。

Nov, 2017

发展了一种数据驱动输入输出图像无限维空间的近似方法，使用了神经网络和深度学习并结合模型缩减的思想，该方法在概念上定义于无限维空间上，并在实践中对计算所需的有限维空间的维度稳健，通过对输入输出映射的一类概率测度的选择，证明了所提出近似方法的收敛性。数值实验表明了该方法的有效性，并将其与现有的算法相比较。

May, 2020

使用神经网络和偏微分方程提取动态数据中的模型，参数化模型来结合空时样本相关性，在 MNIST 和 Fashion MNIST 上与其他深度神经网络进行了比较，证明本方法能够降低参数成本。

Aug, 2019

本研究提出了一种使用人工神经网络解决初始和边界值问题的方法，其中差分方程的试验解被写成两部分的和，第一部分满足边界条件，不包含任何可调参数，第二部分涉及前馈神经网络，包含可调参数（权重）。因此，通过构造满足边界条件的方法，使神经网络训练满足差分方程。本文通过解决各种模型问题并与有限元素进行比较，说明了该方法的适用性范围从单个 ODE 到耦合 ODE 系统，再到 PDE。

May, 1997

利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

Jun, 2018

本研究提出了一种新的方法，splitting PINN, 通过将物理信息神经网络（PINNs）与分裂方法相结合，成功地应用到前向动力系统中，改进了神经元模型的精度，并发展出了一个 $L^1$ 方案来离散分数阶导数，在解决整数和分数阶神经元模型等方面具有潜在的优势。

Apr, 2023