我们介绍了一种用于解决偏微分方程（PDEs）的 Deep Ritz 方法的自适应采样方法，该方法利用了两个深度神经网络，一个用于逼近 PDE 解，另一个是用于生成新的列点以改善训练集的深度生成模型。通过重要性采样准确地近似变分损失，该自适应方法相比原始的 Deep Ritz 方法在低正则性和高维度问题中提高了准确性，并通过一系列数值实验证明了其有效性。

Oct, 2023

基于梯度下降对抗攻击，本文提出了一种适用于物理知识的神经网络（PINNs）的对抗训练策略，称为 AT-PINNs，通过对抗样本微调模型，从而提高了 PINNs 的鲁棒性，准确识别模型失败区域，并在训练过程中使模型关注这些区域。AT-PINNs 还能通过选择初始值周围的对应点进行推理，从而执行具有时间因果关系的推理。实验结果表明，AT-PINNs 能够有效地定位和减少失败区域，且适用于解决复杂的偏微分方程，因为通过对抗攻击定位失败区域与失败区域的大小或分布的复杂程度无关。

Oct, 2023

利用采样方法，从数据无关和数据相关的概率分布中提取隐含权重和偏置的神经网络，可以在训练时间和逼近精度方面取得重大突破，并且能够有效解决时变和静态的偏微分方程以及逆问题，带来了光谱收敛和无网格构建基函数等优势。

May, 2024

该论文提出了一种利用偏微分方程来改进神经网络泛化性能的方法，并将其实现为 PDE + (具有自适应分布扩散的 PDE)，该方法通过扩散每个样本以覆盖语义相似的输入分布，以改善泛化性能。

May, 2023

利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

Jun, 2018

通过使用 Neural Galerkin schemes 方法，利用集合较少的粒子动态适应粒子来近似求解偏微分方程的深度神经网络训练过程中的误差，并在具有局部特征和高维空间域的问题中获得了准确的实证误差估计。

Jun, 2023

本论文提出了一种称为弱对抗网络（WAN）的新方法，通过利用其弱形式将高维线性和非线性偏微分方程转化为算子范数最小化问题，使用原始和敌对网络进行参数化，交替更新以逼近最优网络参数设置。本方法是快速的，稳定的，完全无网格方法，特别适用于定义在不规则域上的高维 PDE，解决了有限差分和有限元法所面临的计算速度慢，不稳定和维数诅咒问题。

Jul, 2019

神经网络方法在科学和工程领域中解决偏微分方程具有显著优势，尤其是在涉及复杂区域或纳入经验数据的情况下。本文引入截断熵的概念来表征训练性质，通过对随机特征模型和两层神经网络进行综合实验证明这一定义的截断熵可靠地量化随机特征模型的残差损失和神经网络在自动微分和有限差分方法下的训练速度，实验证明从训练角度看，自动微分能够在解决偏微分方程的问题上胜过有限差分法。

May, 2024

该论文提出了使用集成的物理信息神经网络 (PINN) 来解决解偏微分方程 (PDEs) 的问题，通过逐步扩展解决方案间隔以及结合 PINN 模型集中观察点的解决方案的一致性来稳定 PINN 的培训，并使结果明显优于目前存在的时间自适应策略的 PINN 算法。

Apr, 2022

本研究提出了一种基于增广拉格朗日方法的 Physics-Informed Neural Networks (AL-PINNs) 算法，用于优化偏微分方程的残差问题，并通过数值实验证明了该方法相较于现有的自适应损失平衡算法具有更小的相对误差。

Apr, 2022