在具有潜在无界梯度和仿射方差噪声的非凸光滑场景下，研究了 Adam 算法的理论性质，证明了它能够以高概率在多项式时间复杂度内找到一个稳定点，同时具有较好的自适应性能。

Feb, 2024

本文介绍了 Adam 算法的一个连续时间版本，并证明了在稳定性条件下，该算法能够收敛于目标函数的临界点。作者还介绍了一种新的步长递减 Adam 算法，并分析了算法的波动性，采用条件中心极限定理证明算法有收敛性。

Oct, 2018

本文提供了自适应矩估计（Adam）算法对于广泛类别的优化目标的收敛性严谨证明，并在更为现实的条件下证明了 Adam 算法可收敛于 ε- 稳定点。同时，我们提出了一种方差抑制的加速梯度复杂度版本的 Adam 算法。

Apr, 2023

研究了自适应矩估计算法（Adam）在无约束非凸平滑随机优化中的收敛性，证明了 Adam 能够在很高的概率下以 $O (poly (log T)/√T)$ 的速率收敛到稳定点，不需要任何有界梯度假设和问题相关的先验知识来调整超参数，同时还研究了一个简化版本的 Adam 算法以适应噪声水平。

Nov, 2023

本文研究一类自适应梯度基于动量的算法，这些算法同时使用过去的梯度更新搜索方向和学习率。该类算法被称为 Adam 类型，研究了一些充分条件，保证了这些方法在解决非凸优化问题时的收敛性，为训练深度神经网络提供了理论支持。另外，文中提出了一类（确定性）增量自适应梯度算法，收敛速度与 Adam 类型算法相同，可以应用于更广泛的机器学习和优化问题。

Aug, 2018

我们介绍了一个统一的 Adam 型算法框架 (UAdam)，并在非凸随机设置下对其进行了收敛性分析，证明 UAdam 以 $\mathcal {O}(1/T)$ 的速率收敛于传统的 Adam 型算法 (如 NAdam、AMSGrad、AdaBound、AdaFom 和 Adan) 的次局部最优解附近，其中，区域大小随着 β 的增加而减小。此外，我们还发现只需将一阶动量因子靠近 1 即可使得分析成立，为 Adam 型算法的进一步分析和应用提供了理论保证。

May, 2023

该论文在最宽松的坐标普适光滑性和仿射噪声方差假设下，为 RMSProp 和 Adam 在非凸优化中提供了首个收敛性分析，首先分析了 RMSProp，然后将分析推广到 Adam，表明它们的迭代复杂度与复杂性下界一致。

Apr, 2024

本文旨在清楚地区分随机梯度下降法和带动量的 Adam 算法在收敛速度方面的差异。我们证明了在非均匀有界平滑性条件下，Adam 算法相对于随机梯度下降法具有更快的收敛速度。我们的发现表明：（1）在确定性环境中，Adam 算法可以达到确定性一阶优化器收敛速度的已知下界，而具有动量的梯度下降法的收敛速度对初始函数值具有更高的依赖度；（2）在随机设置中，Adam 算法的收敛速度上界与随机一阶优化器的下界相匹配，同时考虑初始函数值和最终误差，而随机梯度下降法的学习率存在无法收敛的情况。这些观点可以明显区分 Adam 算法和随机梯度下降法的收敛速度。此外，通过引入一种新的基于停止时间的技术，我们进一步证明了如果在迭代过程中考虑最小梯度范数，相应的收敛速度可以在所有问题超参数上匹配下界。该技术还可以帮助证明具有特定超参数调度器的 Adam 算法是参数不可知的，这一点可能具有独立的研究意义。

Mar, 2024

本研究通过对 Adam 优化器家族进行分析，提出了一种适用于包括 min-max、组合和双层优化问题的简单且通用的渐进收敛证明方法，并证明了使用随机梯度估计器的方差减少结果。

Dec, 2021

Adam 是一种用于基于梯度的随机目标函数优化的算法，它基于低阶矩的自适应估计。该算法易于实现、计算效率高、占用内存少，在对梯度进行对角重缩放时不变，并且非常适合在数据和 / 或参数方面比较大的问题。此外，它也适合于非平稳目标和存在噪声和 / 或稀疏梯度的问题。该算法的超参数具有直观解释，并且通常需要很少的调整。实证结果表明 Adam 在实践中效果良好，并且与其他随机优化方法相比具有优势。此外，还讨论了一种基于无穷范数的 Adam 变体 AdaMax。此外，我们还分析了该算法的理论收敛性质，并提供了一个和在线凸优化框架下已知最好的收敛速率相当的遗憾界。

Dec, 2014