May, 2024

神经网络的热带表达能力

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TL;DR我们提出了一种代数几何框架来研究线性激活神经网络的表达能力。我们在热带几何的环境中工作，利用热带有理映射和前馈神经网络之间的已知连接，构建了一个丰富的研究神经网络的热带几何理论。我们的工作在选择采样域、对具有对称性的网络架构进行引导性采样域限制以及分析神经网络作为热带 Puiseux 有理映射方面做出了贡献。通过一系列概念证明的数值实验，我们展示了热带几何理论可以应用于揭示网络的表达特性的广泛神经网络架构。我们的工作为从计算热带几何和符号计算领域的理论和现有软件转化到深度学习提供了基础。
expressivitylinear activation neural networksinformation capacitytropical geometryarchitectural aspects
发现论文，激发创造
  • 深度神经网络的热带几何

    该研究建立了前馈神经网络与 tropical 空间之间的联系，通过这个联系，我们证明了具有一个隐藏层的前馈神经网络可以通过 zonotopes 来特征化，并且与 tropical hypersurfaces 相关联。

    May, 2018

  • 神经网络的实际热带几何

    考虑一个由两个凸分段线性函数差值定义的二元分类器，其中 ReLU 神经网络的参数空间包含在热带有理函数的参数空间中，我们将该参数空间划分为两个不同的子集：一个由半代数集组成，其决策边界的组合类型固定；一个由多面体扇形组成，捕捉了数据集分割的组合数学。0/1 损失函数的亚水平集是分类扇形的子扇，我们证明亚水平集不一定是连通的。我们从几何学上描述了分类扇形，作为激活多面体的法向扇形，从组合学上通过关联的二分图列表描述了该扇形，类似于有向拓扑和热带有向拓扑的对偶向量公理。我们的发现通过观察在实际热带几何中建立的结构扩展和改进了神经网络与热带几何之间的联系，如超曲面的正热带化和热带半代数集。

    Mar, 2024

  • 分段线性激活函数的神经网络热带方法

    本研究使用热带代数中 generalization 的概念对神经网络中的分段线性激活函数进行统一且独特的处理，将神经网络层看做是一个 tropical polynomial，进一步优化计算线性区域的上界，并提出了一种使用随机抽样有效计算线性区域数量的几何方法。

    May, 2018

  • 反向传播算法和热带神经网络中的算法复杂度

    本文提出使用热带实数矩阵代替实数矩阵进行神经网络训练的新技术，可以大幅降低算法复杂度，探索了热带算术和热带代数几何在神经网络中的应用，并提出多层热带神经网络作为通用逼近器，以及使用热带算术重新定义反向传播算法。

    Jan, 2021

  • 多项式神经网络的几何

    研究使用单项式激活函数的多项式神经网络 (PNNs) 的表达能力和学习过程。探讨了使用代数几何工具对某些神经流形进行研究：给出了半代数集的显式描述，并表征了其 Zariski 闭包，称之为神经多样性。研究了神经多样性的维度，并将一个代数度量，即学习度，与神经多样性相关联。维度用作网络表达能力的几何度量，学习度用作训练网络的复杂度度量，并提供了可学习函数数量的上限。这些理论结果与实验证明相伴。

    Feb, 2024

  • 通过瞬态混沌实现深度神经网络的指数表现能力

    本文利用黎曼几何和高维混沌的平均场理论相结合，研究了具有随机权重的通用深度神经网络中信号传播的性质。我们的研究结果揭示了从秩序相到混沌相的表达能力相变，并证明了浅层网络无法高效地计算这种深度随机函数族。此外，我们定量证明了深度网络可以将输入空间中高度曲率的流形分解成隐藏空间中的平坦流形。

    Jun, 2016

  • 深度多项式神经网络的表达能力

    通过研究多项式激活的深度神经网络，我们提出了 “维度” 作为多项式神经网络表现力的度量标准，并探讨了它受体系结构影响的理论结果。同时，我们还将我们的研究与有利的优化性质联系起来，以及与张量和多项式分解等领域产生了有趣的关联。

    May, 2019

  • 重访热带多项式除法：理论、算法和神经网络应用

    本文研究了一个新的途径，即通过研究热带多项式除法问题，处理神经网络简化问题，并与凸多面体联合凸包的计算联系起来，该算法的有效性已通过 MNIST 手写数字和 CIFAR-10 数据集的数值结果得到证明。

    Jun, 2023

  • 深度网络中线性区域的复杂度

    本研究通过提供一种数学框架来计算分段线性网络的线性区域数量和边界体积，证明神经网络在初始化时的线性区域数量沿任何一维子空间的平均值是总神经元数的线性增长，远低于指数上界，我们得出结论：神经网络的实际表达能力可能远低于理论最大值，并可以量化。

    Jan, 2019

  • 关于二次网络的表达能力和可训练性

    本研究探讨了一种新型的神经元 —— 二次人工神经元，在深度学习模型中取代了传统神经元的内积运算，研究了其模型表达能力、训练稳定性等问题，提出了一种名为 ReLinear 的训练策略，发现二次人工神经元在机器学习任务中具有最优表现。

    Oct, 2021