通过 DeepONet 操作学习框架，我们扩展了基本双曲线和抛物线 PDE 的结果至涉及系统状态和输出或输入延迟的高级双曲线类。我们利用 DeepONet 神经网络逼近算子，并通过数值模拟验证了理论结果，并量化了通过 DeepONet 取代数值 PDE 求解所节省的计算工作量，达到两个数量级。

Jul, 2023

该论文通过偏微分方程的理论框架，提出了三种新型的 ResNet 神经网络架构，分别属于抛物线和双曲线类型的 CNN，能够提供深度学习的新算法和思路，并用数值实验证明了它们的竞争力。

Apr, 2018

为了更好地理解神经网络对序列近似的精度和成本，本文针对序列近似任务，通过利用离散卷积和有限差分算子之间的联系，构造可以在保证性能的情况下，具有与实践中常用的序列近似任务的相似性的小型卷积神经网络，本文的理论结果得到了数值实验的支持。

May, 2023

将 DeepONet 方法拓展至多个非线性算子，并应用于反应 - 扩散植物的反馈控制，确保植物状态和输入延迟状态的 $L^2$ 范数和 $H^1$ 范数指数稳定。

Aug, 2023

介绍了一种新型的连续深度神经网络，名为 “神经分段常数时滞微分方程”，其中利用了信息多点的贡献，提高了模型的能力，并在 MNIST、CIFAR10 和 SVHN 等真实数据集上优于多种现有的连续深度神经网络框架。

Jan, 2022

本文介绍了一种名为 Neural Delay Differential Equations（NDDE）的连续深度神经网络，使用输入的延迟动态学方程计算相应的梯度，并用数个实际案例展示了 NDDE 比传统模型具有更强的非线性表达能力和性能表现的优势。

Apr, 2023

该论文提出了一种将多层求解器和基于神经网络的深度学习方法相结合的新方法，用于解决高维参数的偏微分方程数值解问题，并在理论和实验方面都得到了验证。

Apr, 2023

本文研究使用神经网络设计的 PDE-Net 来有效地预测动态复杂系统并揭示其潜在隐含的 PDE 模型，PDE-Net 的基本思想是通过学习卷积核（滤波器）来学习微分算子，并应用神经网络或其他机器学习方法来近似未知的非线性响应。

Oct, 2017

本研究旨在通过利用解空间的低维特性，导出 ReLU 神经网络逼近参数化偏微分方程解映射复杂度的上界，具有较传统神经网络逼近结果更优的逼近速率。具体而言，在不了解具体形状的情况下，我们利用小型降维基解的存在性，构建了一些神经网络，以便大范围参数化偏微分方程可以提供这样的参数化解映射逼近，而这些网络的大小基本只取决于基解的大小。

Mar, 2019

通过神经网络架构解决高维参数依赖的偏微分方程问题，借助自适应有限元方法提高训练效率并控制逼近误差，并利用可靠的残差估计器测量观察误差，使网络输出只需要少量参数进行逼近，从而实现在局部细化网格上适应问题的解表示及稀疏图像的处理。

Mar, 2024