该论文介绍了新型PINNs的理论和实践研究，证明了其在解决偏微分方程方面的有效性和可靠性。

Apr, 2020

本研究采用神经切向核理论观察了物理知识指导神经网络的局限性，并通过构建新的体系结构使用时空和多尺度随机傅里叶特征，成功解决了波传播、反应扩散动力学等多尺度问题。

Dec, 2020

本文提出Finite Basis PINNs (FBPINNs)方法用于解决大规模微分方程问题。FBPINNs受到经典有限元方法的启发，使用神经网络学习有 紧支撑的有限基函数来表示微分方程的解，使其具有网格自由性和并行解决多尺度问题的能力。数值实验表明，FBPINNs既能够解决小模型问题，还能够高效准确地解决大规模复杂问题，比标准的PINNs方法具有更好的性能表现。

Jul, 2021

文章综述了物理学启发的神经网络（PINN）的文献，并介绍了其特点和优缺点。此外，研究还包括了使用PINN以及它的许多其他变体解决PDE、分数方程、积分微分方程和随机PDE的广泛应用领域，以及它们的定制化方法，如不同的激活函数、梯度优化技术、神经网络结构和损失函数结构。虽然该方法被证明在某些情况下比有限元方法更可行，但它仍面临理论问题尚未解决。

Jan, 2022

本文评估物理启发型神经网络（PINN）解决越来越复杂的耦合常微分方程（ODE）的能力。我们着重研究了一对基准问题：离散化的偏微分方程和谐振子，每个问题都有一个可调参数来控制它的复杂性。通过改变网络架构和应用先进的训练方法，我们表明随着复杂性的增加，即方程组数和时间域的大小，PINN 最终无法正确产生这些基准问题的解。我们确定了这种情况可能出现的几个原因，包括网络容量不足、ODE 的条件较差以及 PINN 损失的 Laplacian 所测定的高局部曲率。

Oct, 2022

该研究通过对不同频率、组合和方程的简单正弦函数进行一系列数值实验，发现在标准化条件下，具有任意阶微分方程的物理知情神经网络确实存在明显的谱偏差，并随微分方程的阶数而增加。

Jan, 2023

物理信息神经网络是一种有效求解偏微分方程的新方法，通过理论框架将其与高斯过程回归等价，并推导出由其架构选择所引起的核项来增强其预测能力，并通过源项的谱分解量化其隐含偏差

Jul, 2023

我们提出了神经谱方法，一种在经典谱方法基础上解决参数化偏微分方程的技术。我们的方法使用正交基来学习PDE解作为谱系数之间的映射，通过谱损失实现更高效的神经网络微分和显著降低训练复杂度，在多个不同问题上，我们的方法在速度和准确性方面显著优于之前的机器学习方法，与相同准确性的数值解算器相比，我们的方法表现出了10倍的性能提升。

Dec, 2023

提出了一种密集乘积 PINN (DM-PINN) 架构，通过将隐藏层的输出与所有后面的隐藏层的输出相乘，不引入更多的可训练参数，它可以显著提高 PINNs 的准确性。对四个基准示例 (Allan-Cahn 方程、Helmholtz 方程、Burgers 方程和 1D 对流方程) 对所提出的架构和不同的 PINN 结构进行比较，证明了 DM-PINN 在准确性和效率上的卓越性能。

Feb, 2024

基于物理约束的神经网络（PINNs）的研究中，我们发现来自更广泛的神经表示研究的特征映射往往被忽视，我们强调了在特定情况下经常使用的基于Fourier的特征映射的局限性，并建议使用条件正定的径向基函数，我们的实证发现证明了我们的方法在多种正向和反向问题案例中的有效性，我们的方法可以无缝地集成到基于坐标的输入神经网络中，并为PINNs研究的更广泛领域做出贡献。

Feb, 2024