采用 Riemannian 余维度流形上的优化几何方法及其梯度下降和信任区域算法，对学习大型固定秩非对称矩阵的线性回归模型进行了研究，推广了固定秩对称正定矩阵的一般结果，可用于机器学习算法的设计，数值实验表明，与现有算法竞争并提供了一种有效且灵活的算法，用于学习固定秩矩阵。

Sep, 2012

本文提出了一种新的算法，利用 Nystrom 逼近和截断秩的新机制实现了从草图中进行固定秩正半定逼近，并证明了在 Schatten 1 - 范数中可以实现任何预设的相对误差，能够利用输入矩阵的谱衰减，并在计算机实验中表现出比固定秩正半定矩阵逼近的替代技术更好的性能。

Jun, 2017

提出了一种新的算法来解决优化问题，该算法针对平滑函数和受限 X 的正半定和对角块小标识矩阵的约束。该算法利用该问题的低秩解和黎曼流形上的光滑优化问题的秩约束版本的事实，并比较该算法与成熟软件的优势。

Jun, 2015

本文介绍用于矩阵补全、量子状态重构和压缩感知的迹回归模型。如果底层矩阵为对称半正定 (spd)，且设计满足特定条件，那么优化方法的选择可能不再需要如核范数正则化这类方法，而简单的最小二乘估计法可能与正则化方法相当。

Apr, 2015

该论文研究了将正半定矩阵分解为给定秩矩阵和稀疏矩阵之和的方法，并提出了使用深度神经网络参数化适当大小的矩形矩阵表示解的低秩部分的方法，该方法在投资组合优化中有应用。作者使用梯度下降算法优化神经网络参数，并证明了收敛速度多项式增长。

Aug, 2019

本文介绍了一个派生于黎曼商几何的指标和均值，用于一组固定秩的半正定矩阵。从积极锥的缩紧几何和相关流畅自然度量，提出了所提出的指标。所得到的黎曼空间具有强的几何特性：它是测地线完成的，并且度量在保持角度的所有变换（正交变换、比例变换和伪逆变换）下是不变的。提出了与所关联的黎曼距离的有意义的近似，可以通过基于 SVD 的简单算法有效地数值计算。其中的几何平均保留着秩，具有最理想的几何平均特性并易于计算。

Jul, 2008

通过矩阵分解和投影梯度下降算法解决约束最优化问题，提供了一种通用理论框架，当给定适当的初始化时，可以几何级数地收敛到具有统计意义的解，适用于许多具体模型。

Sep, 2015

该论文提出了一种新的因子分解模型，它将低秩矩阵和线性子空间约束分离开来，从而使得优化问题在 Riemannian spectrahedron 流形上得以求解。实验证明，该方法在标准 / 鲁棒 / 非负矩阵补全，Hankel 矩阵学习和多任务学习等问题上具有较高的效率。

Apr, 2017

提出了一种基于对称半正定矩阵变量 X 进行定义的非线性凸程序的求解算法，该算法基于因数分解 X=YY^T，其中 Y 的列数确定 X 的秩。该因式分解唤起了将原问题重新表述为特定商流形上的优化的几何，并得出了二阶优化方法。此外，文章提供了一些关于分解秩的条件以确保与原始问题的等价性。该算法的效率在图的最大切割和稀疏主成分分析问题上得到了说明。

Jul, 2008

我们研究了涉及具有凸目标函数（平滑或非平滑）和额外的线性或非线性平滑凸约束的几类非常重要的半定优化问题，这些问题在统计学、机器学习、组合优化和其他领域中非常普遍。我们关注高维和合理设置的情况，在这种情况下，问题具有满足低秩互补条件的低秩解。我们提供了几个理论结果，证明在这些情况下，众所周知的 Extragradient 方法，在在接近最优原始 - 对偶解的位置初始化时，使用低秩奇异值分解（SVD）将收敛到约束优化问题的解，并具有标准收敛速度保证，而不需要在最坏情况下需要计算成本高昂的全秩 SVD。我们的方法得到了使用 Max-Cut 实例数据集进行的数值实验的支持。

Feb, 2024