通过能量景观分解的 Poincaré 和对数 Sobolev 不等式

Feb, 2012

通过能量景观分解的 Poincaré 和对数 Sobolev 不等式

Poincaré and logarithmic Sobolev inequalities by decomposition of the energy landscape

Georg Menz, André Schlichting

TL;DR研究介绍了通过重构自由能地貌的 PI 和 LSI 常数来证明扩散的 Eyring-Kramers 公式，该方法基于 Grunewald 等人引入的双尺度方法和 Chafa"i 与 Malrieu 引入的差异均值估计。

Abstract

We consider a diffusion on a potential landscape which is given by a smooth Hamiltonian $H:\mathbb {R}^n\to \mathbb {R}$ in the regime of low temperature $\varepsilon$. We proof the eyring-kramers formula for the

diffusion eyring-kramers formula poincare inequality logarithmic sobolev inequality two-scale approach

发现论文，激发创造

通过维度对数 Sobolev 不等式在概率测度中精确检测低维结构

提出了一种通过最小化维度对数 Sobolev 不等式和 KL 散度，以识别目标与参考测度之间的近似关系的方法，该方法适用于高维概率测度的低维结构识别和有效抽样。

Jun, 2024

粒子梯度下降的误差界和对数 - 索伯列夫和塔拉格兰不等式的推广

非渐近误差界限

Mar, 2024

随机定位 + 斯提尔切斯障壁 = 对 Log-Sobolev 紧致界

证明对于任何支撑直径为 D 的 n 维吸收对称对数凹密度的对数 Sobolev 常数都是 1/D, 并基于此推导出一系列相关结论，如任何吸收对称对数凹密度上的球步行的混合时间，以及涉及中位数 / 平均值的大偏差不等式。

Dec, 2017

局部最大熵与自由能原理，信念扩散及其奇异性

给出了对三个 Bethe-Kikuchi 变分原理的全面描述，包括它们与信念传播算法在超图上的关系。将信念传播方程的结构推广到定义连续时间扩散，解决最大熵原理 (A)、变分自由能原理 (B) 和一个不太常见的 Legendre 对偶于 A 的平衡自由能原理 (C) 中的局部版本。Bethe-Kikuchi 泛函的临界点和稳态信念都被证明位于两个约束曲面的非线性交点上，分别强制能量守恒和边缘一致性。描述了奇异信念的超曲面，当约束曲面以切线相遇时，平衡变得不稳定，这个超曲面由一阶二进制变量图的多项式方程在一致信念的凸多胞体中表达。

Oct, 2023

Poincaré 不等式与半群的 Lp 收敛

对于对称扩散型 Markov 过程，如果存在 carré du champ，则 Poincaré 不等式等价于关联半群在所有 L^p (μ) 空间中的指数收敛性，其中 1<p<+∞。该结果的部分扩展适用于非对称的静止情况。

Mar, 2010

Eldan 的随机定位和 KLS 猜想：等周性、浓度和混合

我们通过使用鞍点常数和等熵恒量来证明了，具有远离均匀分布的概率分布的 Cheeger 常数在对数凹度量类中的限制为 $ n^{1/4}$，并使用该限制改进了 Poincaré 常数、Lipschitz 浓度常数和球行进算法的性能估计。

Dec, 2016

近端 Langevin 算法：等周条件下的快速收敛

该论文研究 Proximal Langevin Algorithm 在满足 log-Sobolev inequality 的条件下从概率分布中采样的收敛性，证明了该算法在 Kullback-Leibler divergence 下具有更优异的收敛速度，在 Renyi divergence 下也具有收敛性。

Nov, 2019

关于频谱域中形状和数据表示的最优性

本研究提供了 Laplace-Beltrami 算子的本征函数在表征曲面光滑函数方面的最优性证明，并将其应用到应用形状和数据分析领域。该算子可以用于定义曲面上的尺度不变本征空间。此外，研究还包括用于计算几何距离的数值加速技术以及与 LBO 相对应的 PCA 定义。

Sep, 2014

Langevin 蒙特卡罗在 Chi-Squared 和 Renyi 分歧中的收敛

研究采用未校准 Langevin Monte Carlo 算法从目标分布采样当势能满足强弛散条件、具有 Lipschitz 梯度和首阶平滑性，证明其在 Chi-squared divergence 和 Renyi divergence 下，迭代一定步数后可保证达到目标的 ε 邻域。

Jul, 2020

Wasserstein 度量的指数公式

本研究通过开发一类具有更好凸性质的运输度量学来解决 Wasserstein 梯度流研究中的凸性缺乏问题，并使用这些度量学证明了描述 Wasserstein 离散梯度流的 Euler-Lagrange 方程。随后，我们运用这些结果来证明了 Wasserstein 度量的指数公式，并使用该方法简单证明了梯度流的多种属性，包括收缩半群特性和能量耗散不等式。

Oct, 2013