本文研究紧致超度量空间，定义了两种超度量空间的超度量测度，探讨了它们的基本拓扑和几何性质，并且推导出了用于它们计算的多项式时间算法。

Jan, 2021

该研究以欧几里得空间的 Wasserstein 空间（具有二次成本）为内在度量空间，计算其等距群。在直线的情况下，存在一种 “异态” 的等距流，这与高维度的欧几里得空间的情况形成对比。研究了这些空间的曲率和各种秩。

Apr, 2008

证明了有关 Wasserstein 度量下的度量嵌入问题及度量几何、扩张问题和非负曲率的问题。

Sep, 2015

本文旨在建立流形学习算法在紧凸子集上绝对连续概率测度空间中的理论基础，其中测度空间以 Wasserstein-2 距离 W 度量。我们首先介绍了概率测度子流形 Λ 的一种自然构造，配备了度量 Wλ，这是 W 对 Λ 的测地距离限制。与其他构造形成对比，这些子流形不一定是平坦的，但仍然允许类似于 Riemann 流形的局部线性化。然后，我们展示了如何仅通过 Λ 的样本集合和外在 Wasserstein 距离 W 来学习（Λ，Wλ）的潜在流形结构。特别地，我们展示了度量空间（Λ，Wλ）可以从具有节点 Λ 样本集合和边权重 W (λi, λj) 的图中，按照 Gromov-Wasserstein 的意义上逐渐恢复。此外，我们通过对从 λ 到足够接近和不同的样本 Λ 集合中，使用最优输运映射的合适 “协方差算符” 的谱分析，展示了如何渐近地恢复样本 λ 处的切空间。本文最后给出了一些关于子流形 Λ 的具体构造以及通过谱分析恢复切空间的数值例子。

Nov, 2023

定义了一个带有非负 N-Ricci 曲率（其中 N 为有限整数）或无穷小于 K 的 Ricci 曲率下界（其中 K 为实数）的测量长度空间 X 的概念，其定义依赖于与概率测度的 Wasserstein 空间 P_2（X）上的某些函数的位移凸性。我们证明了这些性质在测量 Gromov-Hausdorff 极限下保持不变，并给出了几何和分析方面的结果。

Dec, 2004

本文提出一种泛化近期针对有限维欧几里得空间和有界函数空间的结果的，衡量概率测度和其经验版本之间期望 Wasserstein 距离的上界方法，并将其推广到具有大维度的欧几里得空间及分离的 Hilbert 空间中的 Gaussian process。此外，结合均值集中结果，给出了 Bernstein 型或 log Sobolev 型条件下，经验测度的 Wasserstein 误差的改进指数尾部概率界。

Apr, 2018

该论文提出了一种定义 Dirichlet 能量的方法，用于研究定义在 R^p 的子集 Omega 上的映射 mu，并针对具体情况如沃切斯坦距离、椭圆环状分布等进行研究。

Dec, 2017

本文研究 Wasserstein 距离的问题，得出了关于概率测度的收敛速度的渐近结果和有限样本结果。结果表明，随着样本量 $n$ 的增加，测度可以呈现出不同的收敛速度。

Jul, 2017

提出了两种不平衡的 Gromov-Wasserstein 公式：一种是基于松弛质量守恒约束的正定差异，另一种是基于锥形提升的等距测距，它们都允许比较拥有正定度量的任意正度量的测度空间 (isometries)。

Sep, 2020

研究关于有限度量空间的非线性模拟，探索其与希尔伯特空间的扭曲嵌入子空间的基数，并给出了关于嵌入和扭曲的任意精度下限和上限。

Jun, 2004