研究了紧超度量空间 X 的测度空间的几何形状，表明此 Wasserstein 空间的幂 p 使其成为 l^1 的凸子集，证明了关于超度量情况下 Wasserstein 空间的边界和尺寸估计，以及证明了关于超度量空间包含大的 co-Lipschitz 图像的结构定理。

Apr, 2013

本文研究了一种称为 Wasserstein space 的新型嵌入方法，它在嵌入数据时不受限于欧几里得空间假设，可以更好地捕捉数据的潜在语义结构，同时对于更广泛的度量结构也具有更大的灵活性，并演示了其在词嵌入方面的应用。

May, 2019

本文介绍利用 Wasserstein 距离和最优输运理论分析数据集中随机概率测度（如多重直方图或点云）的最新统计学贡献，并重点介绍在 Wasserstein 空间中使用重心和测地线 PCA 的好处，用于学习数据集中几何变化的主要模式。同时，本文讨论了与统计优化输运相关的一些研究方向。

Jul, 2019

本文旨在建立流形学习算法在紧凸子集上绝对连续概率测度空间中的理论基础，其中测度空间以 Wasserstein-2 距离 W 度量。我们首先介绍了概率测度子流形 Λ 的一种自然构造，配备了度量 Wλ，这是 W 对 Λ 的测地距离限制。与其他构造形成对比，这些子流形不一定是平坦的，但仍然允许类似于 Riemann 流形的局部线性化。然后，我们展示了如何仅通过 Λ 的样本集合和外在 Wasserstein 距离 W 来学习（Λ，Wλ）的潜在流形结构。特别地，我们展示了度量空间（Λ，Wλ）可以从具有节点 Λ 样本集合和边权重 W (λi, λj) 的图中，按照 Gromov-Wasserstein 的意义上逐渐恢复。此外，我们通过对从 λ 到足够接近和不同的样本 Λ 集合中，使用最优输运映射的合适 “协方差算符” 的谱分析，展示了如何渐近地恢复样本 λ 处的切空间。本文最后给出了一些关于子流形 Λ 的具体构造以及通过谱分析恢复切空间的数值例子。

Nov, 2023

本文针对概率度量空间上基于 Wasserstein 距离的梯度流理论进行了阐述，涵盖了欧氏理论的一般化和 Jordan-Kinderleher-Otto 方案的详细描述，并介绍了其他梯度流 PDEs 和基于这些思想的数值方法，最后阐述了 Ambrosio、Gigli、Savar 和 Kuwada 和 Ohta 最新理论成果研究度量空间热流问题。

Sep, 2016

利用最优输运的几何特性提出了一种新的光滑插值概率测度的方法，并将问题简化为经典的欧几里得设置，使我们可以直接利用样条插值的广泛工具箱。与以前的测量值样条的方法不同，我们的插值曲线（i）具有自然的粒子流控制解释，这对于应用非常自然，并且（ii）附带了 Wasserstein 空间上的第一个近似保证。最后，展示了利用薄板样条拟合测度曲面的插值方法的广泛适用性。

Oct, 2020

论文阐述了位于 Wasserstein 空间的数据流形学习中的关于随机向量在 $\mathbb {R}^n$ 中的二次 Wasserstein 距离的一些已知下界，重点考虑应用于数据的仿射变换。具体而言，通过计算协方差矩阵之间的 Bures 度量，给出了关于在 $\mathbb {R}^2$ 中具有不相关分量的随机向量的旋转副本的具体下界。我们还推导了由仿射映射组成的上界，从而产生了多样的微分同胚，应用于初始数据度量。我们将这些界限应用于各种分布，包括位于 $\mathbb {R}^2$ 中的 1 维流形上的分布，并展示了界限的质量。最后，我们提出了一个可以应用于流形学习框架中的模仿手写数字或字母数据集的框架。

Oct, 2023

本研究通过开发一类具有更好凸性质的运输度量学来解决 Wasserstein 梯度流研究中的凸性缺乏问题，并使用这些度量学证明了描述 Wasserstein 离散梯度流的 Euler-Lagrange 方程。随后，我们运用这些结果来证明了 Wasserstein 度量的指数公式，并使用该方法简单证明了梯度流的多种属性，包括收缩半群特性和能量耗散不等式。

Oct, 2013

在这项研究中，我们探讨了在概率空间上定义的 Sobolev 平滑函数的数值逼近的挑战性问题。我们采用三种基于机器学习的方法，通过求解有限个最优传输问题和计算相应的 Wasserstein 潜势，使用 Wasserstein Sobolev 空间中的经验风险最小化和 Tikhonov 正则化，以及通过表征 Tikhonov 泛函的 Euler-Lagrange 方程的弱形式来解决这个问题。作为理论贡献，我们对每种解决方法的泛化误差提供了明确且定量的界限。在数值实现中，我们利用适当设计的神经网络作为基函数，经过多种方法的训练，使我们能够在训练后快速评估逼近函数。因此，我们的构造性解决方案在相同准确性下显著提高了评估速度，超过了现有方法数个数量级。

Oct, 2023

通过置换不变网络将样本从概率测度映射到低维空间，使编码样本之间的欧几里得距离反映概率测度之间的 Wasserstein 距离，进一步证明了该网络可以推广到正确计算未见密度之间的距离，并且可以学习到概率分布的第一和第二矩。

Oct, 2020