张量与其矩阵展开的核范数关系

Dec, 2014

Relations of the Nuclear Norms of a Tensor and its Matrix Flattenings

Shenglong Hu

TL;DR本文研究了 $3$ 维张量的核范数及其矩阵展开的核范数之间的关系，并提出了相应的上下界和计算标准，进一步推广到 $N$ 维张量，并在 $N=3$ 的情况下获得了最优解。

Abstract

For a $3$-tensor of dimensions $I_1\times I_2\times I_3$, we show that the nuclear norm of its every matrix flattening is a lower bound of the tensor nuclear norm, and which in turn is upper bounded by $\sqrt{\min\{I_i : i\neq j\}}$ times the nuclear norm of the →

tensor nuclear norm matrix flattening lower and upper bounds computable criterion sharp

发现论文，激发创造

高阶张量的核范数

本文探讨了高阶张量的核范数的数学和计算特性，发现核范数与张量秩一样取决于基域的选择，并且证明了对于对称张量，它的对称核范数总是等于其核范数。此外，本文还证明了计算张量核范数在多个方面上是 NP 难问题。

Oct, 2014

随机张量的谱范数

针对具有一定次数的 n 维张量，在一定的次高斯假设下，我们通过覆盖数量的论证，证明其谱范数的上界与张量各维度大小之和及其对数成正比，从而得出该张量的核范数具有较低样本复杂度，该结论相比于其他基于展开的张量低秩凸松弛方法而言具有更小的复杂度。

Jul, 2014

通过核范数最小化进行张量完成

本文探讨了在张量补全中使用矩阵补全技术的不足之处，并证明了直接最小化张量核范数的凸优化方法对于提高样本需求是有益的。我们通过开发一系列代数和概率技术来建立结果，例如张量核范数的次微分的表征以及张量鞅的浓度不等式，这可能对其他张量相关问题具有独立的兴趣和有用性。

May, 2014

高斯测量下精确低秩张量回收

本文研究了张量核范数在 Guassian measurements 下的低秩张量恢复问题，证明了 TNN 是一种特殊的原子范数，并提出了 TNN 最小化问题的解决方案。通过实验验证了理论结果。

Jun, 2018

方形交易：张量恢复的下界和改进的松弛

本文提出一种新的简单的基于凸松弛的方法，并通过模拟实验证明其在低秩张量恢复方面性能更好，这有可能通过同时利用多种结构来降低样本复杂度。

Jul, 2013

深度学习的核范数正则化

利用深度学习技术，通过惩罚函数的雅可比核范数，提出了一种简单高效而准确的规则化方法，使雅可比核范数可以应用于高维深度学习问题，并在去噪和表示学习等领域进行了实证研究。

May, 2024

非相干张量范数及其在高阶张量补全中的应用

本文研究了高阶张量完成的核范数最小化算法中的样本数量要求，并通过引入一类张量范数，通过利用张量的不相干性，证明了一个阶数为 k，秩为 r，尺寸为 d x ... x d 的张量可以通过适当的不相干核范数最小化算法从仅采样 O（（r ^（k-1）/ 2} d ^ {3/2} + r ^ {k-1} d）（log（d））^ 2）个条目中完美恢复。研究结果不仅指出了当前核范数最小化算法的潜在改进空间，而且还强调了在处理高阶张量时明确考虑不相干性的重要性。

Jun, 2016

底秩张量恢复的一阶方法的效率研究：严格互补条件下的张量核范数

使用凸松弛方法，基于张量核范数引入的球形约束最小化来恢复低秩张量，引入张量核范数球的适当严格互补条件下获得重要结果，包括线性收敛速度、低秩解的近似线性运行时间，在非平滑目标函数中类似结果可用于 extragradient 方法，并扩展了先前仅适用于三阶张量的许多基本结果。

Aug, 2023

量子信息理论中的一类规范及其应用

本篇论文探讨了基于 Schmidt 分解定理定义的一族向量和算子范数，并使用这些范数解决了量子信息理论中的两个基本问题：k - 正线性映射和纠缠证人的分类问题，以及非正偏转限制纠缠态的存在问题。

Sep, 2009

矩阵近似乘法及其在线性嵌入方面的应用

该论文研究了计算两个实矩阵乘积的近似算法，提出了核秩的概念，并应用于线性低维嵌入中，使得任何核秩有界的欧几里得点集能够在独立于输入维度的投影空间上实现加性误差保证。

Mar, 2014