本文介绍了一种基于最优传输的、新的非负 Radon 测度类距离，通过两个互等的、可切换的公式表述：（i）动态公式，将距离定义为测度空间上的测地距离；（ii）静态公式，距离则是一对耦合的最小化优化问题，描述了两个测量值之间的传输（运输、创造和销毁）的质量转移。两个公式都是凸优化问题，并且根据目标应用程序的不同而进行切换的能力是我们模型的关键属性。特别感兴趣的是最近由 Chizat 等和 Kondratyev 等相互独立引入的 Wasserstein-Fisher-Rao 度量，最初通过动态公式定义，属于这类度量，因此自动受益于静态 Kantorovich 公式。

Aug, 2015

本文分析了在以参考路径度量替换运输成本为熵成本时，最优传输和 Schr"odinger 问题之间的类比性，并推导出了双重 Kantorovich 类型的公式和 Benamou-Brenier 类型的表示公式，以及相对于路径度量的相对熵在其中的突出作用。同时，我们以布朗运动或奥恩斯坦 - 乌伦贝克过程作为参考路径度量，给出了一些数值例子。

Oct, 2015

本文证明了熵正则化最优输运问题的 Gamma 收敛性，并证明了隐式步骤按熵正则化距离时收敛于原始梯度流，证明了压缩后的最优输运计划收敛于最优输运计划，这表明了压缩后的熵正则化最优输运计划在熵消失时收敛于最优输运计划。

Dec, 2015

研究了 $d>2$ 离散测度的最优输运问题，提出了有熵正则化项的线性规划方案，并引入了 Sinkhorn 扩展算法，并给出了严格凸函数部分最小化算法的变形，得到其收敛速度的几何估计。

May, 2020

本文针对高维离散量之间的 Wasserstein 距离提出了具有鲁棒性的 “Max-Min” 方案，通过将量投影到一个较低维的子空间来最大化它们之间的距离。此外，我们提出了一种基于熵正则化的算法来解决相关问题，并在实验中显示了其优越性。

Jan, 2019

本文提出了一种新的最优传输距离家族，从最大熵的角度看待运输问题。在传统最优传输问题上加入熵正则化项，通过 Sinkhorn-Knopp 的矩阵缩放算法计算新的距离，显著提高了性能。

Jun, 2013

本文提出一种可有效计算高维数据分布之间优化映射的估计器，使用 Sinkhorn 算法计算最优熵方案的重心投影，兼具计算效率高和统计性能较好的优势。

Sep, 2021

研究正交传输中的 Schrödinger 势和其与 Kantorovich 势之间的收敛关系，证明了它们的 $L^1$ 收敛性，并在波兰空间中证明了任何连续可积费用函数的相关结论。

Apr, 2021

通过优化传输度量，在嵌入 Hilbert 空间的流形上估计一种衡量方法，并将量化优化和学习理论联系起来，为无监督学习中经典算法（k-means）的性能提供新的概率界限。在分析的过程中，我们得出了新的下界和概率上界，这些上下界适用于广泛的测度范围。

Sep, 2012

本文研究了满足等式和不等式约束条件下的熵正则化的最优输运问题，并提出了一种基于 Sinkhorn 算法的对应解法。通过理论保证，我们首先得出在解决问题时通过熵正则化所带来的近似误差随着参数增加而指数级减小。此外，通过描述具有李雅普诺夫函数的优化过程，我们证明了 Sinkhorn 算法在对偶空间中具有亚线性一阶收敛速度。为了在弱熵正则化下实现快速、高阶收敛，我们通过动态正则化调度和二阶加速技术来改进 Sinkhorn 算法。总体而言，本文将熵最优输运的最近理论和数值进展与约束情况相结合，使从业者能够在复杂场景中得到近似的输运计划。

Mar, 2024