Dec, 2016

一组用于椭圆界面问题的浸入式有限元空间

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TL;DR我们提出了一个统一的框架，用于开发和分析浸入式有限元 (IFE) 空间，以便解决具有界面无关网格的典型椭圆界面问题。该框架允许我们构建一组新的 IFE 空间，其中包括线性的、双线性的或旋转 Q1 的多项式。在这些 IFE 空间中的函数是局部分段多项式，其定义取决于由界面本身而不是其线性逼近形成的子元素。我们证明了这些 IFE 空间的单值性来自 Sherman-Morrison 矩阵的可逆性。还建立了适用于所有这些 IFE 空间的界面几何和形状函数的一组估计和恒等式。最重要的是，这些基本准备使我们能够开发统一的多点 Taylor 扩展过程，以证明这些 IFE 空间具有所涉及多项式的期望最优逼近能力。
发现论文，激发创造
  • 立方网格上的有限元微分形式

    采用有限元外微分学的方法，我们在任意维度的立方网格上开发了一系列定义在微分形式上的有限元空间家族，包括所有多项式度数和所有形式度数的元素，可用于稳定地离散化各种问题的有限元子复合。

    Apr, 2012

  • 有限算子学习：连接神经算子与 PDEs 的高效参数解和优化的数值方法

    通过结合神经算子、物理约束的机器学习和常规数值方法，我们提出了一种解决偏微分方程的方法，该方法在单一框架内扩展了前述方法并将其统一起来，使得我们能够以无数据的方式对参数化的偏微分方程进行求解，并提供准确的灵敏度，即解空间对设计空间的导数。这种能力使得我们能够进行基于梯度的优化，而无需进行典型的敏感性分析成本，从而避免了与响应函数数量直接成比例的伴随方法的规模问题。

    Jul, 2024

  • 基于有限元的物理知情的算子学习框架用于任意域的时空偏微分方程

    我们提出了一种新颖的基于有限元的物理信息算子学习框架，用于预测由偏微分方程（PDEs）控制的时空动态。该框架利用了受有限元方法（FEM）和隐式欧拉时间积分方案启发的损失函数。通过考虑瞬态导热传导问题进行性能测试，该算子学习框架将当前时间步的温度场作为输入，预测下一个时间步的温度场。实施物理学约束的热传导方程 Galerkin 离散弱形式被用作损失函数，称为有限算子学习（FOL）。经过训练，网络成功预测了任意初始温度场的时间演化，与有限元方法解决方案相比具有较高的准确性。该框架也适用于具有异质热导率和任意几何形状的情况。FOL 的优势可以概括为：首先，训练是以无监督的方式进行的，避免了需要准备大量昂贵模拟或实验数据集的需求。相反，使用由高斯随机过程和傅里叶级数生成的随机温度模式结合恒温场作为训练数据，以覆盖可能的温度情况。其次，利用形状函数和向后差分逼近进行域的离散化，得到一个纯代数方程。这提高了训练效率，同时避免了在优化权重和偏差时耗时的自动微分过程，虽然可能会导致离散化误差。最后，由于有限元方法的插值能力，FOL 能处理任意几何形状，这对于解决各种工程应用场景至关重要。

    May, 2024

  • MFEM：一款模块化有限元方法库

    MFEM 是一款开源的、轻量级的、灵活而可扩展的 C++ 库，提供高阶有限元法网格、离散化和线性求解器算法等。

    Nov, 2019

  • 斯坦纳等角紧框架

    简单张量组合的方法构造了一些 ETF 的无穷种族，在其本地域中构建向量，ETF 的 RIP 行为不如其连贯性好。

    Sep, 2010

  • 通过学习压缩的有限元模型进行软体机器人的直接和逆向建模

    基于学习的方法提出了一种紧凑但足够丰富的力学表示，通过 FEM 模型的压缩获得非线性可变性数据，在模型化中非常高效，并能够推导出机器人的正向和逆向运动学。

    Jul, 2023

  • 深度神经网络与任意维度的任意阶有限元方法

    采用深度神经网络和 ReLU 激活函数，本研究证明能够在任意维度的分形网格上表示 Lagrange 有限元函数。通过引入基函数的新型全局公式，基于几何分解和高维分形网格及质心坐标函数的两个关键性质，该表示理论为这些深度神经网络的自然近似结果提供了便利。研究结果首次证明了深度神经网络如何系统地生成一般的连续分段多项式函数。

    Dec, 2023

  • Helmholtz 方程的 Trefftz 方法综述

    本文回顾了针对亥姆霍兹方程开发的多种 Trefftz 变分形式的构建和性质，其中最值得期待的一个功能是在基函数传播方向的选择中的可适应性。

    Jun, 2015

  • 使用有限元网络从稀疏观测中学习物理系统动态

    本文提出了一种用于任意分布的点的时空预测的新方法，该模型可以利用偏微分方程来推导数据动态的连续时间模型，通过有限元方法，在空间域的网格化中估计未知动态对每个单元格的瞬时影响，我们的模型可以通过假设方程的形式来将先前知识纳入其中，并从对流方程导出一个运输变体，该模型对比基准模型，表现了更好的海面温度和气体流量预测的转移性能。此外，我们的模型具有独特的可解释性。

    Mar, 2022

  • 个性化被动心脏力学优化框架

    个性化心脏力学建模是理解心脏在健康和疾病中的生物力学以及辅助治疗规划的强大工具。本研究引入了反向有限元分析（iFEA）框架，利用时变的医学图像数据估计心脏组织的被动力学特性。

    Apr, 2024