本文综述了传统的PDE数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习PDE解算子的新方法，与传统方法相比具有1000倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

Jan, 2023

本研究探讨了深度学习方法在多物理问题中的应用，特别是通过 PINN 解决热力学力学相互作用等问题，提出了顺序无监督训练和迁移学习的思想，以提高网络的准确性和计算效率。

Feb, 2023

基于变分方法，提出一种新的培训神经网络算子和解决偏微分方程的统一框架，称为变分算子学习（VOL），VOL可以以近乎无标签的方式有效地学习PDE的解算子，并利用最陡下降法和共轭梯度法进行更新。

Apr, 2023

提出一种基于神经网络和基函数的新型算法来求解随机参量的大规模偏微分方程优化问题。通过构建一种新的神经算符逼近偏微分方程的解算符，该算符由减小基构建而成，在保持精度的同时大大缩小了训练数据量和计算成本，并成功用于数值实验中。

May, 2023

使用有限元算子网络 (FEONet) 提出了一种解决参数化偏微分方程的新方法，它结合了深度学习和传统的数值方法，在缺乏配对的输入输出训练数据的情况下解决参数化偏微分方程，成功地解决了多个基准问题，表现出更高的精确度、泛化能力和计算灵活性，对于模拟具有不同边界条件和奇异行为的复杂领域，展示了潜在的应用前景，此外，还提供了有限元逼近在数值分析中支持我们方法的理论收敛性分析。

Aug, 2023

利用物理知识驱动的深度学习方法在异质固体中解决参数化偏微分方程，它的关键是建立复杂的热导率分布、温度分布和热流分量之间的联系，通过固定边界条件，在这项工作中，我们独立于有限元方法等经典求解器，并通过基于离散弱形式的损失函数定义方法给出出色的结果，该损失函数是一个代数方程，大大提高了训练效率。通过将我们的方法与标准有限元方法进行基准测试，我们展示了使用训练有素的神经网络在温度和通量剖面方面进行准确且更快的预测，我们还展示了在未知情况下，与纯数据驱动方法相比，所提出的方法具有更高的准确性。

Jan, 2024

为了开发更快速解决固体力学中的物理方程的求解器，我们引入了一种参数化学习力学平衡解的方法，该方法在计算成本方面优于传统方法，同时可接受地保持准确性。此方法具体应用于微机械学，在微观结构中知道微观力学解，即给定异质微结构的变形和应力场，非常重要。我们的研究表明，基于物理的训练方法在未知微结构上相较于纯数据驱动方法具有更高的准确性。

Mar, 2024

本论文通过对经典有限元逼近的一种不依赖数据的操作学习方法——有限元算子网络(FEONet)进行理论分析，首先确定了该方法在具有一般二阶线性椭圆型偏微分方程与神经网络逼近参数的收敛性。其次，推导出了自伴随情况下的显式误差估计，验证了解的某些函数类别在神经网络逼近中具备期望正则性的充分条件。最后，通过一些数值实验支持理论发现，确认了有限元矩阵条件数在整体收敛中的作用。

Apr, 2024

研究中开发了一种新颖的多保真度深度学习方法，通过将参数空间信息纳入标准自动编码器体系结构中，将低保真度解决方案图转换为高保真度解决方案图，并表明由于参数空间数据的整合，该方法要求显著较少的训练数据来实现从低保真度到高保真度的有效性能。

May, 2024

我们提出了一种新颖的基于有限元的物理信息算子学习框架，用于预测由偏微分方程（PDEs）控制的时空动态。该框架利用了受有限元方法（FEM）和隐式欧拉时间积分方案启发的损失函数。通过考虑瞬态导热传导问题进行性能测试，该算子学习框架将当前时间步的温度场作为输入，预测下一个时间步的温度场。实施物理学约束的热传导方程Galerkin离散弱形式被用作损失函数，称为有限算子学习（FOL）。经过训练，网络成功预测了任意初始温度场的时间演化，与有限元方法解决方案相比具有较高的准确性。该框架也适用于具有异质热导率和任意几何形状的情况。FOL的优势可以概括为：首先，训练是以无监督的方式进行的，避免了需要准备大量昂贵模拟或实验数据集的需求。相反，使用由高斯随机过程和傅里叶级数生成的随机温度模式结合恒温场作为训练数据，以覆盖可能的温度情况。其次，利用形状函数和向后差分逼近进行域的离散化，得到一个纯代数方程。这提高了训练效率，同时避免了在优化权重和偏差时耗时的自动微分过程，虽然可能会导致离散化误差。最后，由于有限元方法的插值能力，FOL能处理任意几何形状，这对于解决各种工程应用场景至关重要。

May, 2024