本文旨在建立流形学习算法在紧凸子集上绝对连续概率测度空间中的理论基础，其中测度空间以 Wasserstein-2 距离 W 度量。我们首先介绍了概率测度子流形 Λ 的一种自然构造，配备了度量 Wλ，这是 W 对 Λ 的测地距离限制。与其他构造形成对比，这些子流形不一定是平坦的，但仍然允许类似于 Riemann 流形的局部线性化。然后，我们展示了如何仅通过 Λ 的样本集合和外在 Wasserstein 距离 W 来学习（Λ，Wλ）的潜在流形结构。特别地，我们展示了度量空间（Λ，Wλ）可以从具有节点 Λ 样本集合和边权重 W (λi, λj) 的图中，按照 Gromov-Wasserstein 的意义上逐渐恢复。此外，我们通过对从 λ 到足够接近和不同的样本 Λ 集合中，使用最优输运映射的合适 “协方差算符” 的谱分析，展示了如何渐近地恢复样本 λ 处的切空间。本文最后给出了一些关于子流形 Λ 的具体构造以及通过谱分析恢复切空间的数值例子。

Nov, 2023

我们提出了一种便宜的随机迭代方法，解决了通过对可行解的随机估计来优化在广义斯蒂弗尔流形上的问题。该方法具有较低的每次迭代成本，只需要进行矩阵乘法，并且具有与完整矩阵 B 相关的 Riemannian 方法相同的收敛速度。实验证明了其在包括 CCA、ICA 和 GEVP 在内的各种涉及广义正交性约束的机器学习应用中的有效性。

May, 2024

本文提出了从 Rn 中嵌入的子流形上的概率分布中进行抽样的算法，并应用于 “拓扑统计” 中算法的评估，指数族的拟合度检验以及 Neyman 的平滑检验。该文章部分是阐述性的，介绍了几何测度论的工具。

Jun, 2012

本论文旨在发展一种算法（并附带复杂性保证），用于适应一个未知的由可分 Hilbert 空间支持的概率分布，仅使用该分布的独立同分布样本来调整流形。

Oct, 2013

本文提出了用于流形上均值估计和检验问题的非参数推理方法，推导出了 Frechet 样本均值的中心极限定理，导致了关于黎曼流形中固有样本均值的渐近分布理论。同时，对于嵌入欧几里得空间的可微流形的外部样本均值也得到了中心极限定理。还提出了特别适用于这些问题的自助法方法。该方法在球面、实射影空间、复射影空间等多个应用领域具有广泛应用。

Jul, 2005

针对欧几里得空间中相等和不等约束定义的流形，我们描述并分析了一些蒙特卡洛方法，其中提出了一个采用正交投影进行采样的 MCMC 采样器，来计算该流形上定义的非归一化概率分布。我们使用这个采样器来开发一个多阶段算法，并提供单次运行误差估计，以计算这种流形上的积分。计算实验表明算法和误差估计在实践中成立。该方法应用于计算不同粘性硬球体系的熵，从而预测硬粘球链环变得优于链时的温度或相互作用能量。

Feb, 2017

本文提出了适用于在流形上的矢量值信号的新型高斯过程模型，考虑了流形的几何特性，并展示了在二维球面和超平面上部署的 Hodge-Matérn 高斯矢量场以及离散二维网格和理想流形的推广方向。同时，证明了我们的高斯矢量场相较于之前提出的外部场具有更加精细的归纳偏差。

Oct, 2023

本文介绍了一种扩展随机梯度下降算法来优化在 Riemannian 流形上定义的代价函数的方法，并通过四个例子展示了其潜在的应用，其中包括派生和数字测试的一种新型的协方差矩阵的聚集算法。

Nov, 2011

本文讨论了基于浸入流和哈密尔顿 - 雅可比表示描述的测地线流的概率密度函数流形的 Markov chain Monte Carlo 方法，并基于流形支撑下的测地线流开发了提案机制，文中用超球面和正交矩阵的 Stiefel 流形为例进行了说明。

Jan, 2013

本研究针对在 Stiefel 流形上最大化（或最小化）二次目标函数的的优化问题，提出了一种基于正交迭代算法的稀疏矩阵优化方法，并将其应用于排列同步问题，取得了比之前更好的结果。

Sep, 2021