Sep, 2018

证明人工神经网络克服了在数值逼近 Black-Scholes 偏微分方程中的维度灾难

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TL;DR本文揭示了人工神经网络可用于数值逼近 Black-Scholes PDEs 的实际应用，并证明了它能够在高维函数逼近中克服 “维度灾难”。
发现论文，激发创造
  • 神经网络深度证明在具有恒定扩散和非线性漂移系数的 Kolmogorov 偏微分方程数值逼近中克服了维度灾难

    这篇论文揭示了深度人工神经网络在 Kolmogorov PDEs 数值逼近中克服了维数灾难的现象。我们证明了所用 DNN 模型的参数数量在 PDE 维数 d 和逼近精度的倒数 ε 的倒数中，最多呈多项式增长。

    Sep, 2018

  • 利用人工神经网络解决参数化偏微分方程问题

    该研究论文展示了如何使用基于神经网络的方法用于数值偏微分方程中处理随机系数的问题，通过神经网络解决 PDE 问题从而简单和精确地表示物理量。

    Jul, 2017

  • 深度人工神经网络中经验风险最小化对一般化误差的分析：在数值求解 Black-Scholes 偏微分方程中克服维数灾难

    探讨深度神经网络假设类上基于经验风险最小化 (ERM) 的新分类和回归算法在高维偏微分方程数值解中克服维数灾难的条件，并说明在多项式时间内只需合适数量的样本即可获得解。

    Sep, 2018

  • 高维随机偏微分方程深度神经网络代理

    利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

    Jun, 2018

  • 使用深度学习求解高维偏微分方程

    通过使用神经网络逼近未知解的梯度来解决高维偏微分方程，该算法在包括非线性 Black-Scholes 方程、Hamilton-Jacobi-Bellman 方程和 Allen-Cahn 方程等方程上均取得了精确和低误差的结果。

    Jul, 2017

  • 修正的深度神经网络克服非线性僵硬系统的零和博弈中非平滑价值函数的维度诅咒

    该研究表明，对于具有强刚性系数的广泛控制随机微分方程，相关零和博弈的价值函数可以由深度人工神经网络来表示，该网络的复杂度在状态方程的维度和所需精度的倒数方面都呈多项式增长。

    Mar, 2019

  • 深度神经网络和参数化偏微分方程的理论分析

    本研究旨在通过利用解空间的低维特性，导出 ReLU 神经网络逼近参数化偏微分方程解映射复杂度的上界，具有较传统神经网络逼近结果更优的逼近速率。具体而言，在不了解具体形状的情况下，我们利用小型降维基解的存在性，构建了一些神经网络，以便大范围参数化偏微分方程可以提供这样的参数化解映射逼近，而这些网络的大小基本只取决于基解的大小。

    Mar, 2019

  • 带有 ReLU，leaky ReLU 和 softplus 激活函数的深度神经网络能够在 $L^p$ 意义下，证明地克服 Kolmogorov 偏微分方程中具有 Lipschitz 非线性的维数灾难

    深度学习方法在逼近高维偏微分方程方面的研究，尤其是通过神经网络和活化函数的选择，可以有效地克服维数诅咒，并能够在多项式时间内以任意精度逼近解，为解决偏微分方程提供了广泛应用的前景。

    Sep, 2023

  • 复杂地形中偏微分方程的统一深度人工神经网络方法

    本文利用深度前馈人工神经网络近似求解复杂几何下的偏微分方程，并演示了如何修改反向传播算法来计算网络输出对空间变量的偏导数。此方法基于一种假设解法，只需要前馈神经网络和梯度优化方法，如梯度下降或拟牛顿方法，可以作为网格法无法使用时的有效替代方案。此外，本文还阐述了深度相比于浅度神经网络的优势及其他收敛增强技术的设想。

    Nov, 2017

  • 深度神经网络求解参数扩散方程

    本文探讨了近似理论对神经网络在数值分析实际学习问题中的影响，并以基于机器学习的参数化偏微分方程求解为例进行了全面的数值研究。研究表明，参数空间维度与求解子流形的内在维度对模型性能有微弱的影响。通过测试数据的优化和采样来确立测试用例之间的可比性。研究发现，近似理论对数值分析学习问题的实际行为产生了重要影响。

    Apr, 2020