本研究提出了关于群等变卷积神经网络（G-CNNs）在同种空间如欧几里德空间和球面上的总体理论。这些网络中的特征映射表示同种基本空间上的场，层是场空间之间的等变映射。该理论使得所有现有的 G-CNNs 都能按照它们的对称群、基础空间和场类型进行系统分类。我们还考虑了一个根本性问题：什么是给定类型的特征空间（场）之间等变线性映射的最普遍类型？我们证明这样的映射与使用等变核进行卷积一一对应，并且表征了这些核的空间。

Nov, 2018

通过局部模式方向在连续 SO (3) 群上实现分析 3D 体积数据的等变神经网络，提供了对流形旋转不变性的创新方法，并显示出在各个领域具有潜在应用的灵活性。

Apr, 2024

基于均匀空间理论，我们得出了在灵活的消息传递框架中使用的几何最优边属性，将卷积网络中的权重共享定义为在应该等同处理的点对上共享消息函数的共享点对的等价类，并导出能够唯一标识这些等价类的属性。我们通过在处理 3D 点云时开发了一种高效的等变群卷积网络来应用这一理论。在三个不同的基准测试中，即原子间势能预测、N 体系统轨迹预测和通过等变扩散模型生成分子，我们以准确性和速度方面达到了最先进的结果。

Oct, 2023

本研究提出一种新型的基于 Riemannian 同质空间函数样本的高阶 Volterra 卷积神经网络 (VolterraNet)，实现了对模型的对称性以及卷积操作的泛化，在有关分类任务的实验中，与其他先进模型相比，取得了较好的性能，为传统卷积神经网络提供了新思路。

Jun, 2021

我们在这项工作中正式证明，在特定条件下，如果神经网络对于一个有限群是不变的，那么它的权重将恢复该群的傅里叶变换。这为傅里叶特征的出现提供了数学解释，傅里叶特征是生物和人工学习系统中普遍存在的现象。即使对于非交换群，这些结果仍然成立，此时傅里叶变换编码了所有不可约幺正群表示。我们的研究结果对于对称性探索问题具有重要意义。具体来说，我们证明了从至少在某些限制范围内是近似不变的网络的权重中，可以恢复未知群的代数结构。总体而言，这项工作为不变神经网络表示的代数学习理论奠定了基础。

Dec, 2023

本文介绍了群等变神经网络及其在机器学习中的应用及理论，其中包括群表示理论、非交换调和分析和微分几何等内容，研究结果表明这些网络可以降低样本和模型的复杂性，在输入具有任意相对角度的挑战性任务中表现出色。

Apr, 2020

本研究旨在通过傅里叶神经算子来求解偏微分方程，从而将对称性编码到神经算子中以获得更好的性能和更容易的学习，通过将群卷积扩展到频域并设计傅里叶层使其在旋转、平移和反射等变换下等变，从而实现了广义的 G-FNO 体系结构。

Jun, 2023

本文提出了一个用于学习来自 3D 点云的 SE (3)- 等变特征的卷积结构。它将 KPConv（一种广泛用于处理点云数据的卷积形式）视为等变版本。通过组合群卷积和商表示，我们实现了一个简单，轻量级，快速的设计，能与现有的任务特定点云学习管道集成，同时在各种任务中实现了可比较或更优的性能，消耗更少的内存和运行速度更快。通过实验，我们展示了该方法可以促进点云等变特征学习在实际应用中的采用并激发未来应用的发展。

Jun, 2022

本研究提出了一种新的不变和等变深度神经网络的泛化误差上界，并开发了一个称为 “商特征空间” 的方法来描述其对于一些属性的作用，证明了 “商特征空间” 的容积可以描述泛化误差并进一步表明不变性和等变性显著改善了误差上界的主导项，同时讨论了不变性 DNN 的表达能力并证明了其能够实现最佳逼近率，并通过实验结果验证了理论结果。

Oct, 2019

提出了神经傅里叶变换（NFT）的概念，它是一种无需显式知道组在数据上的作用方式就可以学习组的潜在线性作用的通用框架。论文通过实验结果展示了 NFT 在不同场景下的应用。

May, 2023