介绍了 SciML 软件生态系统作为混合物理定律和科学模型的信息和数据驱动机器学习方法的工具，描述了一种数学对象 —— 通用微分方程（UDEs），作为连接生态系统的统一框架，并展示了这些工具的通用性。

Jan, 2020

本文研究了使用 Physiscs-informed Machine Learning 方法识别常微分方程，通过两个案例研究，发现了结合数据驱动方法和数值求解器时产生的一些问题，以及数据收集过程的重要性。

Jun, 2023

使用神经网络和偏微分方程提取动态数据中的模型，参数化模型来结合空时样本相关性，在 MNIST 和 Fashion MNIST 上与其他深度神经网络进行了比较，证明本方法能够降低参数成本。

Aug, 2019

利用物理知识驱动的深度学习方法在异质固体中解决参数化偏微分方程，它的关键是建立复杂的热导率分布、温度分布和热流分量之间的联系，通过固定边界条件，在这项工作中，我们独立于有限元方法等经典求解器，并通过基于离散弱形式的损失函数定义方法给出出色的结果，该损失函数是一个代数方程，大大提高了训练效率。通过将我们的方法与标准有限元方法进行基准测试，我们展示了使用训练有素的神经网络在温度和通量剖面方面进行准确且更快的预测，我们还展示了在未知情况下，与纯数据驱动方法相比，所提出的方法具有更高的准确性。

Jan, 2024

神经微分方程是深度学习和动力系统相结合的一个研究领域，可用于解决生成式问题、动力系统和时间序列。本文提供了这个领域的深入调查，并涵盖了神经微分方程的多种类型及其相关的数值方法和符号回归。

Feb, 2022

科学机器学习是一类新的方法，它将物理知识和机械模型与数据驱动技术相结合，以揭示复杂过程的控制方程。本文提供了不确定性量化 (UQ) 的 UDE 的形式化，并研究了重要的频率派和贝叶斯方法。通过分析三个不同复杂度的合成示例，本文评估了集成、变分推断和马尔可夫链蒙特卡洛采样作为 UDE 的认识论不确定性量化方法的有效性和效率。

Jun, 2024

本文对深度神经网络用于偏微分方程 (PDEs) 求解的现状和潜在应用进行了综述，分析和分类了相关方法在科学研究和工程场景中的应用，介绍了这一领域的来源、历史、特点、类型以及未来趋势。

Oct, 2022

通过解决受约束的优化问题并使用类似于物理 - Informed 神经网络（PINN）的中间状态表示，我们将 PDE 表示为神经网络，以发现 PDE。我们使用惩罚方法和广泛使用的约束 - 区域障碍方法解决了此约束优化问题，并在数值示例上比较了这些方法。我们对 Burgers' 和 Korteweg-De Vreis 方程的结果表明，后一种约束方法在更高的噪声水平或更少的空间插值点上表现优于惩罚方法。对于这两种方法，我们使用传统方法（如有限差分方法）解决这些发现的神经网络 PDE，而不是依赖于自动微分的 PINNs 类型方法。我们简要介绍其他一些小但至关重要的实施细节。

May, 2024

本文提出了一种用于任意分布的点的时空预测的新方法，该模型可以利用偏微分方程来推导数据动态的连续时间模型，通过有限元方法，在空间域的网格化中估计未知动态对每个单元格的瞬时影响，我们的模型可以通过假设方程的形式来将先前知识纳入其中，并从对流方程导出一个运输变体，该模型对比基准模型，表现了更好的海面温度和气体流量预测的转移性能。此外，我们的模型具有独特的可解释性。

Mar, 2022

本文提出了一种基于变分方法的非线性和抛物型偏微分方程潜在力模型的推断技术，并展示了神经算子方法在千万级实例上的可扩展性，以处理核函数的不同可处理程度，进一步表明我们框架的高效性和灵活性。

Sep, 2021