通过稀疏径向基函数神经网络解决多尺度椭圆问题

Sep, 2023

通过稀疏径向基函数神经网络解决多尺度椭圆问题

Solving multiscale elliptic problems by sparse radial basis function neural networks

Zhiwen Wang, Minxin Chen, Jingrun Chen

TL;DR提出了一种利用稀疏径向基函数神经网络的方法来解决具有多尺度系数的椭圆偏微分方程。该方法不仅在三维情况下具有数值收敛性并提供可靠的数值解，而且在准确性和鲁棒性方面优于大多数其他可用的机器学习方法。

Abstract

machine learning has been successfully applied to various fields of scientific computing in recent years. In this work, we propose a sparse radial basis function neural network method to solve elliptic partial differential equations (PDEs) with multiscale coefficients. Inspired by the

machine learning radial basis function neural network elliptic partial differential equations multiscale problems regularization

发现论文，激发创造

用于非线性偏微分方程的稀疏深度神经网络

本文通过使用深度神经网络结合稀疏规则化技术，针对非线性偏微分方程的解进行了数值研究，结果表明该方法在求解 Burgers 方程和 Schrödinger 方程时能够生成稀疏且准确的解。

Jul, 2022

一种基于极限学习机的高维计算 PDEs 方法

我们提出了两种基于随机神经网络解决高维偏微分方程 (PDE) 的有效方法。通过对这种类型网络的普适逼近性质的激励，这两种方法都将极限学习机 (ELM) 方法从低维扩展到高维。第一种方法中，$d$ 维度下未知解域由随机前向神经网络表示，其中隐藏层参数随机分配并固定，而输出层参数进行训练。PDE、边界 / 初值条件以及连续性条件 (对于方法的局部变量) 被施加在一组随机内部 / 边界对应点上。通过最小二乘解决其结果线性或非线性代数系统，从而得到网络参数的训练值。第二种方法通过一个基于近似理论的被约束表达式重新描述高维 PDE 问题，避免了随着维度增加而引发的 TFC 项数量的指数级增长。约束表达式中的自由域函数由随机神经网络表示，并通过类似于第一种方法的过程进行训练。我们进行了大量数值模拟，针对多个高维线性 / 非线性静态 / 动态 PDE，以展示这些方法的性能。与基于物理知识的神经网络 (PINN) 方法相比，当前方法在高维 PDEs 上既具有成本效益，又更准确。

Sep, 2023

高维随机偏微分方程深度神经网络代理

利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

Jun, 2018

利用领域缩放和残差校正方法增强的物理约束神经网络用于多频率椭圆问题

发展了神经网络逼近方法，用于具有多频解的椭圆偏微分方程。通过域缩放和残差校正方法解决了多频解中高频和低频部分的对比度问题，并展示了方法的效率和准确性。

Nov, 2023

基于多层卷积神经网络的参数化偏微分方程求解

该论文提出了一种将多层求解器和基于神经网络的深度学习方法相结合的新方法，用于解决高维参数的偏微分方程数值解问题，并在理论和实验方面都得到了验证。

Apr, 2023

用径向基函数和深度神经网络解决参数化偏微分方程

POD-DNN 算法在近似不规则域上参数化偏微分方程的参数映射中利用了深度神经网络（DNNs）和径向基函数（RBFs），通过利用参数方程解流形的低维特性以及 RBM 和 DNNs 的离线 - 在线计算策略，在在线阶段显著加快了计算速度。与仅使用 RBF 而不整合 DNNs 的其他算法相比，POD-DNN 大幅提高了在线推断过程中的计算速度，并在合理假设下对用 POD-DNN 近似参数映射的复杂性进行了严格推导，从而提供了该算法的理论分析。

Apr, 2024

高维完全非线性偏微分方程和二阶反向随机微分方程的机器学习逼近算法

本文介绍一种新的用于解决高维金融模型中的非线性偏微分方程的方法，该方法包含非线性现象、深度神经网络和随机梯度下降类型优化过程，并通过海量数据的数值结果证明了该方法的高效性和精确性。

Sep, 2017

通过基于有限差分的非监督小型线性卷积神经网络解决椭圆和抛物问题

我们提出了一种完全无监督的方法，通过小型卷积神经网络直接估计偏微分方程的有限差分解，以解决常规神经网络方法在估计 PDE 解时遇到的泛化差距问题。与有限差分法相比，我们的算法在几个选定的椭圆和抛物问题的真实解上展示了相当准确的结果。

Nov, 2023

用采样神经网络解决偏微分方程

利用采样方法，从数据无关和数据相关的概率分布中提取隐含权重和偏置的神经网络，可以在训练时间和逼近精度方面取得重大突破，并且能够有效解决时变和静态的偏微分方程以及逆问题，带来了光谱收敛和无网格构建基函数等优势。

May, 2024

用于高效神经网络训练的可证明数据子集选择

本文提出了构建 RBFNN 核心集的第一个算法，利用这些核心集以及梯度的逼近，可以提高深度神经网络训练的效率和准确性。

Mar, 2023