Apr, 2024

用径向基函数和深度神经网络解决参数化偏微分方程

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TL;DRPOD-DNN 算法在近似不规则域上参数化偏微分方程的参数映射中利用了深度神经网络（DNNs）和径向基函数（RBFs），通过利用参数方程解流形的低维特性以及 RBM 和 DNNs 的离线 - 在线计算策略，在在线阶段显著加快了计算速度。与仅使用 RBF 而不整合 DNNs 的其他算法相比，POD-DNN 大幅提高了在线推断过程中的计算速度，并在合理假设下对用 POD-DNN 近似参数映射的复杂性进行了严格推导，从而提供了该算法的理论分析。
pod-dnndeep neural networksradial basis functionsparametric partial differential equationscomputational speed
发现论文，激发创造
  • 深度神经网络和参数化偏微分方程的理论分析

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    Mar, 2019

  • 通过稀疏径向基函数神经网络解决多尺度椭圆问题

    提出了一种利用稀疏径向基函数神经网络的方法来解决具有多尺度系数的椭圆偏微分方程。该方法不仅在三维情况下具有数值收敛性并提供可靠的数值解，而且在准确性和鲁棒性方面优于大多数其他可用的机器学习方法。

    Sep, 2023

  • 高维随机偏微分方程深度神经网络代理

    利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

    Jun, 2018

  • 利用随机滤波和模式识别在反应扩散复杂网络中加强基于 POD 的模型简化技术

    我们提出了一个算法框架，结合了模式识别和随机滤波理论的技术，以提高复杂网络模型在输入数据扰动情况下的输出准确性，并通过与神经常微分方程方法的基准测试进行了评估。

    Jul, 2023

  • 用于非线性偏微分方程的稀疏深度神经网络

    本文通过使用深度神经网络结合稀疏规则化技术，针对非线性偏微分方程的解进行了数值研究，结果表明该方法在求解 Burgers 方程和 Schrödinger 方程时能够生成稀疏且准确的解。

    Jul, 2022

  • 加速解高马赫欧拉方程的神经基础函数

    采用神经基函数的方法，以基于 POD 降阶的神经网络为基础，结合参数支持的分支网络，针对高速流动条件下的稳态欧拉方程进行求解，得到了更快的收敛速度，并提供了算法训练和实现的经验教训。

    Aug, 2022

  • 非线性模型约简用于算子学习

    使用神经网络和核主成分分析（KPCA）结合的高效框架，扩展了基于模型简化和神经网络的 DeepONet，并展示了 KPCA-DeepONet 相对于 POD-DeepONet 的卓越性能。

    Mar, 2024

  • 预训练物理信息深度学习的基于减小阶数的非线性参数化 PDE 模型

    使用 Proper Orthogonal Decomposition (POD) 和基于深度学习的 ROMs (DL-ROMs) 的耦合是构建参数非线性时变 PDE 实时解的非侵入性高精度代理的成功策略，然而传统 POD-DL-ROMs 通过训练数据仅考虑问题的物理规律，并且可用数据的数量强烈影响其准确性，因此本文提出了一种基于物理规律的训练策略来改善可用数据不足的问题，并开发了预训练过程来提高预测可靠性。

    May, 2024

  • 神经网络深度证明在具有恒定扩散和非线性漂移系数的 Kolmogorov 偏微分方程数值逼近中克服了维度灾难

    这篇论文揭示了深度人工神经网络在 Kolmogorov PDEs 数值逼近中克服了维数灾难的现象。我们证明了所用 DNN 模型的参数数量在 PDE 维数 d 和逼近精度的倒数 ε 的倒数中，最多呈多项式增长。

    Sep, 2018

  • 以偏微分方程为基础的深度神经网络

    该论文通过偏微分方程的理论框架，提出了三种新型的 ResNet 神经网络架构，分别属于抛物线和双曲线类型的 CNN，能够提供深度学习的新算法和思路，并用数值实验证明了它们的竞争力。

    Apr, 2018