通过基于有限差分的非监督小型线性卷积神经网络解决椭圆和抛物问题

Nov, 2023

通过基于有限差分的非监督小型线性卷积神经网络解决椭圆和抛物问题

Solutions to Elliptic and Parabolic Problems via Finite Difference Based Unsupervised Small Linear Convolutional Neural Networks

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Adrian Celaya, Keegan Kirk, David Fuentes, Beatrice Riviere

TL;DR我们提出了一种完全无监督的方法，通过小型卷积神经网络直接估计偏微分方程的有限差分解，以解决常规神经网络方法在估计 PDE 解时遇到的泛化差距问题。与有限差分法相比，我们的算法在几个选定的椭圆和抛物问题的真实解上展示了相当准确的结果。

Abstract

In recent years, there has been a growing interest in leveraging deep learning and neural networks to address scientific problems, particularly in solving partial differential equations (PDEs). However, current n

deep learning neural networks partial differential equations unsupervised approach convolutional neural networks

发现论文，激发创造

解决偏微分方程的快速分辨率无关的神经技术

本文综述了传统的 PDE 数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习 PDE 解算子的新方法，与传统方法相比具有 1000 倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

Jan, 2023

FiniteNet：一种用于时间相关偏微分方程的全卷积 LSTM 网络架构

本文介绍了一种利用机器学习方法来减少时间依赖性偏微分方程数值求解误差的方法，使用全卷积 LSTM 网络来利用偏微分方程的时空动态性，提高常规有限差分和有限体积法的精度，并通过对模拟数据的训练和三个不同动态学特征的偏微分方程实例的演示，表明该方法与其他算法相比误差降低了 2 到 3 倍。

Feb, 2020

基于像素数据的预测：来自 PDE 和有限差分的洞见

为了更好地理解神经网络对序列近似的精度和成本，本文针对序列近似任务，通过利用离散卷积和有限差分算子之间的联系，构造可以在保证性能的情况下，具有与实践中常用的序列近似任务的相似性的小型卷积神经网络，本文的理论结果得到了数值实验的支持。

May, 2023

高维随机偏微分方程深度神经网络代理

利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

Jun, 2018

用采样神经网络解决偏微分方程

利用采样方法，从数据无关和数据相关的概率分布中提取隐含权重和偏置的神经网络，可以在训练时间和逼近精度方面取得重大突破，并且能够有效解决时变和静态的偏微分方程以及逆问题，带来了光谱收敛和无网格构建基函数等优势。

May, 2024

以偏微分方程为基础的深度神经网络

该论文通过偏微分方程的理论框架，提出了三种新型的 ResNet 神经网络架构，分别属于抛物线和双曲线类型的 CNN，能够提供深度学习的新算法和思路，并用数值实验证明了它们的竞争力。

Apr, 2018

偏微分方程与深度神经网络的结合：综述

本文对深度神经网络用于偏微分方程 (PDEs) 求解的现状和潜在应用进行了综述，分析和分类了相关方法在科学研究和工程场景中的应用，介绍了这一领域的来源、历史、特点、类型以及未来趋势。

Oct, 2022

基于多层卷积神经网络的参数化偏微分方程求解

该论文提出了一种将多层求解器和基于神经网络的深度学习方法相结合的新方法，用于解决高维参数的偏微分方程数值解问题，并在理论和实验方面都得到了验证。

Apr, 2023

使用深度学习求解高维偏微分方程

通过使用神经网络逼近未知解的梯度来解决高维偏微分方程，该算法在包括非线性 Black-Scholes 方程、Hamilton-Jacobi-Bellman 方程和 Allen-Cahn 方程等方程上均取得了精确和低误差的结果。

Jul, 2017

元学习物理信息神经网络以高效求解新的偏微分方程

我们提出了一种基于神经网络的元学习方法，用于高效解决偏微分方程（PDE）问题。该方法通过元学习来解决各种各样的 PDE 问题，并将这些知识用于解决新的 PDE 问题。我们使用神经网络将 PDE 问题编码成问题表示，其中，控制方程由偏导数的多项式函数的系数表示，边界条件由一组点条件对表示。我们将问题表示作为神经网络的输入来预测解决方案，通过神经网络的前向过程，我们能够高效地预测特定问题的解决方案，而无需更新模型参数。为了训练我们的模型，我们最小化在基于物理知识的神经网络框架中适应 PDE 问题时的预期误差，通过这种方式，即使解决方案未知，我们也能评估误差。我们证明了我们提出的方法在预测 PDE 问题的解决方案方面优于现有方法。

Oct, 2023