线性全连接神经网络所参数化的函数集合是一个行列式变种。我们研究了在置换群的作用下等变或不变的函数子变种。对于这些等变或不变的子变种，我们提供了其维数、度数以及欧氏距离度数和奇点的明确描述。我们对任意置换群完全表征了不变性和循环群的等变性。我们对等变和不变的线性网络的参数化和设计提出了结论，如权重共享特性，并证明所有不变的线性函数可以通过线性自编码器进行学习。

Sep, 2023

量子机器学习中，基于置换对称系统的强大算法被提出，利用对称群、等价量子卷积神经网络等关键词建立了置换对称系统的强大算法。

Apr, 2024

我们开发了一个统一的框架，通过线性和张量值函数的组合表达在各种子群中对称不变的函数，利用多臂老虎机算法和梯度下降优化线性和张量值函数，从而学习出对应的对称性。通过图像数字求和和多项式回归任务的实验，证明了我们方法的有效性。

Sep, 2023

本研究探讨了群变换对神经网络中的线性层进行限制是否可以使其逼近任意（连续）不变函数，结果表明高阶张量可以实现该功能，且存在一些群需要高阶张量才能实现，研究得出了只使用一阶张量的 G 不变网络普适性的必要条件。

Jan, 2019

运用机器学习从数学上的结构化数据中了解有限群，并得出关于有限单群生成元必要属性的定理，通过使用浅层前馈神经网络对所有 n 个对象的对称群的二元子群进行分类，验证这种神经网络分类器可以根据特征以不同的准确率识别简单性属性，新的玩具定理关于有限单群生成元的必要属性进行评论，对一类稀有群成立的结果进行了明确展示，表明了纯数学中代数结构机器学习的研究可行性，并凸显出借助于机器学习在数学中生成新的猜想和定理的可能性。

Dec, 2023

通过使用限制条件和启发式搜索方法，本研究提出了一种在子群发现中提供简单解释并优化的方法，探讨了使用稀疏特征描述子群并寻找具有相似数据对象的替代子群描述的问题，同时证明了这两种限制条件会导致一个 NP - 困难优化问题。通过实验比较，本研究表明启发式方法在有限制条件的子群发现中可以在短时间内产生高质量的子群。

Jun, 2024

该论文研究了神经网络在输入排列不同时的不变性，针对异构图数据，提出了保留节点类型排列的线性层公式，实验表明该方法可以更有效地学习节点交互。并对张量层大小问题进行了探究，发现对于 $n$ 个节点的图数据，张量大小的上限为 $n$，优于之前的结果。

Feb, 2023

使用李群和李代数的结构与几何学，提出了一个框架，用来在大多数情况下处理几何变换的不规则群，重点关注李群 GL+(n, R) 和 SL (n, R)，以及它们作为仿射变换的表示。通过将 `较大的` 群分解为子群和子流形来实现不变积分和全局参数化。在这个框架下，我们展示了如何参数化卷积核来构建关于仿射变换等变的模型，并在标准的仿射不变基准分类任务上评估了我们模型的鲁棒性和越域泛化能力，结果表明我们的模型优于所有先前的等变模型以及所有胶囊网络提议。

Oct, 2023

本文介绍了一种发现和表征数据集中未知对称性（Lie 群对称）的方法，旨在解决神经网络中进行对称性硬编码的问题，适用于模型选择、生成建模和数据分析等领域。

Jul, 2023

本研究提出了一种通过置换组捕捉相邻节点间的成对相关性的高效置换敏感聚合机制，证明我们的方法比 2-WL 图同构测试更强大且不逊于 3-WL 测试，并证明我们的方法可以实现线性采样复杂度。多个数据集的综合实验证明了我们模型的优越性。

May, 2022