我们提出了神经谱方法，一种在经典谱方法基础上解决参数化偏微分方程的技术。我们的方法使用正交基来学习 PDE 解作为谱系数之间的映射，通过谱损失实现更高效的神经网络微分和显著降低训练复杂度，在多个不同问题上，我们的方法在速度和准确性方面显著优于之前的机器学习方法，与相同准确性的数值解算器相比，我们的方法表现出了 10 倍的性能提升。

Dec, 2023

神经积分方程是基于积分方程理论的深度学习模型，该模型由积分算子和相应的方程（第二类）组成，通过优化过程学习。本文介绍了一种基于谱方法的神经积分方程框架，可以在谱域中学习运算符，从而降低计算成本，并具有高插值精度。我们研究了该方法的性质，并展示了关于模型逼近能力和数值方法收敛性的各种理论保证。我们提供了数值实验，以证明所得模型的实际有效性。

Dec, 2023

提出了一种名为 Neural Laplace 的框架，它使用 Laplace 域来建模系统的动态，并能学习各种微分方程类，包括延迟微分方程和积分微分方程，能够更稳健地建模粘性微分方程和具有分段强制函数的微分方程。在实验中，证明其在建模和外推各种微分方程的轨迹方面都能比较好的工作。

Jun, 2022

使用神经网络和偏微分方程提取动态数据中的模型，参数化模型来结合空时样本相关性，在 MNIST 和 Fashion MNIST 上与其他深度神经网络进行了比较，证明本方法能够降低参数成本。

Aug, 2019

Neural Laplace 是学习不同类别的常微分方程的统一框架，但是许多系统无法用 ODE 建模，这篇论文将重点讨论 Neural Laplace 在学习不同类别的随机微分方程（SDE）的潜在应用。

Jun, 2024

本文提出了使用谱元方法进行神经普通微分方程（ODE-Nets）的快速准确训练以及系统识别。算法通过调整误差函数和 ODE-Net 动态违规量的加权总和，使用坐标下降法计算出系数和网络权重的最小值，并使用标准反向传播和梯度方法优化。实验结果表明，与标准方法相比，该算法达到的损失函数值快至少一个数量级，相应的测试均方误差也减小至少一个数量级，证明该算法具有更好的泛化能力。

Jun, 2019

本文提出了一种新的框架，将神经网络、遗传算法和自适应方法相结合，应用于从稀疏噪声数据，不完整的备选库和空间或时间变化系数中发现偏微分方程。该方法在 Burgers 方程，对流扩散方程，波动方程和 KdV 方程上进行了测试，结果表明该方法对噪声数据具有鲁棒性，能够发现具有不完整备选库的参数 PDE。

May, 2020

在处理真实世界的不规则时间序列数据中，由于不连续的采样间隔和缺失值，神经随机微分方程（Neural SDEs）的良好性能依赖于漂移和扩散函数的巧妙选择，本研究通过提出三个稳定的 Neural SDE 类别： Langevin 型 SDE、线性噪声 SDE 和几何 SDE，并通过广泛的实验验证了这些方法在分布转移和不同缺失率下的鲁棒性，展示了该方法在处理真实世界不规则时间序列数据中的有效性。

Feb, 2024

本文综述了传统的 PDE 数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习 PDE 解算子的新方法，与传统方法相比具有 1000 倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

Jan, 2023

本文提出了一种基于正则化的方法，该方法利用自适应微分方程求解器的内部代价启发式和离散相邻灵敏度来引导训练过程，以学习更易于求解的神经微分方程，并在不增加训练成本的情况下加速预测，该方法可应用于常微分方程和神经随机微分方程。

May, 2021