基于时间相关哈密尔顿动力学的哈密尔顿 - 雅各比偏微分方程在持续科学机器学习中的应用

Nov, 2023

基于时间相关哈密尔顿动力学的哈密尔顿 - 雅各比偏微分方程在持续科学机器学习中的应用

Leveraging Hamilton-Jacobi PDEs with time-dependent Hamiltonians for continual scientific machine learning

Paula Chen, Tingwei Meng, Zongren Zou, Jérôme Darbon, George Em Karniadakis

TL;DR我们提出了一种新的理论方法，通过与泛化 Hopf 公式的建立来提高科学机器学习 (SciML) 过程的可解释性，并且该方法与最优控制问题和 Hamilton-Jacobi 偏微分方程 (HJ PDE) 的时间相关哈密顿量有关。同时，我们提供了一种基于 Riccati 的方法来解决学习问题，以应用于持续学习任务。

Abstract

We address two major challenges in scientific machine learning (SciML): interpretability and computational efficiency. We increase the

scientific machine learning interpretability computational efficiency optimal control problem riccati-based methodology

发现论文，激发创造

在科学机器学习中利用粘性 Hamilton-Jacobi 偏微分方程进行不确定性量化

科学机器学习中的不确定性量化（UQ）与可靠性建模方法相结合，我们提供了一种新的对 UQ 问题的解释，通过建立科学机器学习中产生的贝叶斯推断问题与粘性哈密顿 - 杰克比偏微分方程的新理论联系，我们展示了通过粘性哈密顿 - 杰克比偏微分方程的空间梯度和 Hessian 矩阵的解恢复后验均值和协方差的方法。

Apr, 2024

具有状态约束的两人对称差分博弈的价值逼近

使用三种方法解决了物理信息机器学习方法在机器人应用中由于采样性质而产生的不连续解的问题，并在 5D、9D 车辆模拟和 13D 无人机模拟中证明了混合方法在泛化和安全性能方面的优越性。

Nov, 2023

可微分物理学习控制偏微分方程

本研究介绍了一种新颖的分层预测 - 校正方案，使神经网络能够学习理解和控制复杂的非线性物理系统，在涉及偏微分方程的任务中成功地开发了对这些系统的理解，并学会了控制它们。

Jan, 2020

限制随机微分方程的确定性粒子流

本篇论文介绍了一种在求数值解过程中随机采样和网格方法之间插值的新型完全确定性框架，它在用对数梯度（分数）计算二个向前概率流的基础上，利用确定性粒子方法求解 Fokker-Planck 方程，计算所需的最佳干预。

Oct, 2021

通过机器学习设计泊松积分器

该论文提出了一种构建泊松积分器的通用方法，这些积分器能够保持基础泊松几何的特性。通过将泊松微分同胚和拉格朗日子段的对应关系应用于泊松积分器的设计，我们将该方法重新表述为解决某种偏微分方程（Hamilton-Jacobi）的问题。该研究的主要创新在于将 Hamilton-Jacobi 偏微分方程理解为一种优化问题，其解可以通过机器学习相关技术轻松近似。这一研究方向与当前 PDE 和机器学习社区的趋势一致，正如物理信息神经网络所提出的，倡导将物理建模（Hamilton-Jacobi 偏微分方程）和数据相结合的设计。

Mar, 2024

Solver-in-the-Loop: 从可微分物理学习与迭代 PDE 求解器进行交互

这篇研究论文研究了通过机器学习方法发现复杂修正函数来提高解决偏微分方程数值误差的准确性，发现将求解器集成到训练中的方法比以往的学习方法更有效，文章还强调了不同可微分物理网络在广泛的 PDEs 中的性能表现。

Jun, 2020

连续时空模型的操作员学习及混合优化方案

基于运算器学习的最近进展，本文提出了一种连续时空数据驱动建模框架，并通过三个数值实例研究了该框架的性能，结果证实了该建模框架的分辨率不变性，并展示了仅使用短期时间序列数据进行稳定长期模拟的能力，此外，也表明了通过混合优化方案，结合短期和长期数据，提出的模型能更好地预测长期统计数据。

Nov, 2023

隐含物理模型：非线性偏微分方程的机器学习

本文提出了一种新的学习模型，称为隐藏物理模型，旨在从小数据中学习偏微分方程，并利用高斯过程进行概率推断，此方法被证明在各种科学领域中具有潜在的应用前景。

Aug, 2017

物理约束学习带不确定性的 PDE 系统的 Port-Hamiltonian 模型

建议了一种物理约束学习方法，将强大的学习工具与可靠的物理模型相结合，通过高斯过程对观测到的数据进行处理，并将分布式 Port-Hamiltonian 模型与其物理约束相关联，以学习系统的动力学，并进行不确定性量化，并且保留了 Port-Hamiltonian 系统的组合性质。

Jun, 2024

关于 Lipschitz 连续控制问题的稳定性及其在强化学习中的应用

我们研究了模型无关的强化学习环境下 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的稳定性属性，特别是对于 Lipschitz 连续最优控制问题。通过在动力学和奖励函数中引入结构假设，我们进一步研究了值函数的收敛速度。此外，我们引入了一个广义框架，用于处理包含原始问题的 Lipschitz 连续控制问题，并基于此提出了一种新的基于 HJB 的强化学习算法。通过与现有方法的比较，我们测试了所提方法的稳定性和性能，并使用众所周知的基准示例进行了验证。

Apr, 2024