在科学机器学习中利用粘性 Hamilton-Jacobi 偏微分方程进行不确定性量化

Apr, 2024

在科学机器学习中利用粘性 Hamilton-Jacobi 偏微分方程进行不确定性量化

Leveraging viscous Hamilton-Jacobi PDEs for uncertainty quantification in scientific machine learning

Zongren Zou, Tingwei Meng, Paula Chen, Jérôme Darbon, George Em Karniadakis

TL;DR科学机器学习中的不确定性量化（UQ）与可靠性建模方法相结合，我们提供了一种新的对 UQ 问题的解释，通过建立科学机器学习中产生的贝叶斯推断问题与粘性哈密顿 - 杰克比偏微分方程的新理论联系，我们展示了通过粘性哈密顿 - 杰克比偏微分方程的空间梯度和 Hessian 矩阵的解恢复后验均值和协方差的方法。

Abstract

uncertainty quantification (UQ) in scientific machine learning (SciML) combines the powerful predictive power of SciML with methods for quantifying the reliability of the learned models. However, two major challe

uncertainty quantification scientific machine learning bayesian inference viscous hamilton-jacobi partial differential equations riccati-based methodology

发现论文，激发创造

我们提出了一种新的理论方法，通过与泛化 Hopf 公式的建立来提高科学机器学习 (SciML) 过程的可解释性，并且该方法与最优控制问题和 Hamilton-Jacobi 偏微分方程 (HJ PDE) 的时间相关哈密顿量有关。同时，我们提供了一种基于 Riccati 的方法来解决学习问题，以应用于持续学习任务。

Nov, 2023

评估科学应用中神经 PDE 的不确定量化方法

神经偏微分方程（Neural PDEs）被证明能够有效重构流系统并预测相关的未知参数。然而，基于贝叶斯方法的神经偏微分方程显示出更高的预测确定性，相较于使用 Deep Ensembles 方法得到的结果，可能低估了真实潜在的不确定性。

Nov, 2023

基于物理约束的多项式混沌展开用在科学机器学习和不确定性量化中

提出了一种新颖的物理约束多项式混沌扩展方法作为代理模型方法，能够同时进行科学机器学习和不确定性量化任务，有效地量化科学机器学习任务的不确定性，并利用科学机器学习改善不确定性评估。

Feb, 2024

通过潜在全局演化对 PDE 的正向和反向问题进行不确定性量化

提出了一种将高效精确的不确定性量化整合到基于深度学习的代理模型中的方法，称为 LE-PDE-UQ，其具备了前向和反向问题中的鲁棒高效的不确定性量化能力。

Feb, 2024

普适微分方程中不确定性量化评估

科学机器学习是一类新的方法，它将物理知识和机械模型与数据驱动技术相结合，以揭示复杂过程的控制方程。本文提供了不确定性量化 (UQ) 的 UDE 的形式化，并研究了重要的频率派和贝叶斯方法。通过分析三个不同复杂度的合成示例，本文评估了集成、变分推断和马尔可夫链蒙特卡洛采样作为 UDE 的认识论不确定性量化方法的有效性和效率。

Jun, 2024

高维反问题中的随机物理信息机器学习用于不确定性量化

我们提出了一种用于高维反问题中不确定性量化的物理启发机器学习方法。该方法使用截断条件 Karhunen-Loève 展开（CKLE）来近似偏微分方程（PDE）的状态和参数，通过构造与各个变量的测量值相匹配。该方法中所提出的随机化 PICKLE 方法（rPICKLE）通过求解带有零均值高斯扰动的优化问题来对逆问题的不确定性进行量化。我们通过对低维和高维参数空间的地下水模型的逆问题进行测试和验证，展示了 rPICKLE 方法在不同问题维度下的性能优势。

Dec, 2023

微分方程贝叶斯解不确定性量化

本研究提出了通过 Bayesian updating 方法推测已知固定但先验未知的模型轨迹以处理离散化不确定性，并为此目的设计了一个一步采样方案。此方案具有一阶收敛性，计算复杂度与显式一步求解器的计算复杂度成正比，并可用于推断蛋白质动力学中 JAK-STAT 延迟微分方程模型的后验分布。

Jun, 2013

利用不确定性量化来描述和改善偏微分方程的领域外学习

在科学机器学习中，研究人员发现利用数据驱动的解算器学习可以提供快速的近似解决方案，作为传统数值偏微分方程求解器的替代方法。本研究通过聚合多个神经操作器，识别高误差区域并提供与预测误差相关的良好不确定性估计，从而解决了现有神经操作器方法在域外测试输入上的不确定性量化问题。基于这一结果，提出了一种经济高效的方法 DiverseNO，通过鼓励多个神经操作器在最后的前馈层中产生不同预测结果来模拟集成的特性。同时，引入了 Operator-ProbConserv 方法，将这些经过良好校准的不确定性估计嵌入 ProbConserv 框架以更新模型。实验结果表明，Operator-ProbConserv 提高了挑战性偏微分方程问题的域外模型性能，并满足了物理约束条件如守恒定律。

Mar, 2024

从位移到分布：一种机器学习支持的用于量化计算模型参数不确定性的框架

本文介绍了将两个框架相结合的新扩展，用于量化工程系统建模中的不可避免不确定性和可归约不确定性来源。

Mar, 2024

使用结构化体积信息放大概率 PDE 模拟器

应用偏微分方程模型到现实世界问题是科学机器学习的重要课题。本文提出一种结合基于有限体积法的离散化方案和数值线性代数技术的框架，通过实验验证在空间与时间方面的海啸模拟中该方法相比之前的基于插值法的技术有显著的性能提升。

Jun, 2024