介绍了 Embed to Control (E2C) 的方法和结果，E2C 是一种从原始像素图像学习非线性动力系统模型并控制其的方法，采用变分自编码器的深度生成模型来学习在局部线性约束下动力学的潜在空间，并支持图像序列的长期预测。

Jun, 2015

本文提出了一种新的方法 —— 学习具有鲁棒性的局部线性可控嵌入（RCE）模型，该模型可以直接估计给定当前观测下未来观测的预测条件密度，并引入瓶颈结构使得模型动力学具有鲁棒的可线性化特性，同时提出了一种有原则的变分近似方法，使得变分近似更加鲁棒。实验结果表明，与 Embed-to-Control（E2C）模型相比，RCE 模型具有更好的鲁棒性和预测性能，尤其在系统动力学存在噪声的情况下表现显著。

Oct, 2017

本研究介绍了一种数据学习的线性 Koopman 嵌入非线性网络动态的方法，并将其用于实现电网中的实时模型预测紧急电压控制。该方法包括一种新颖的 “基字典自由” 的数据驱动系统动态升维方式、基于 Koopman 的深度神经网络编码器解码器架构用于分布式控制下潜在动力学的线性嵌入以及使用真实系统轨迹数据一次性学习三个连续变换的端到端成分。通过在标准 IEEE 39 总线系统上进行应用程序验证了该方法的效力和鲁棒性。

Jun, 2022

本文提出了一种基于测度理论的深度神经网络学习连续时间 Koopman 算子的方法，使用结构参数化来保证稳定性，并构建了一个自动编码器架构以学习动态模态分解的残差部分，并在基于贝叶斯方法的平均场变分推断下评估了该框架。

Jun, 2019

通过深度学习揭示紧凑辛坐标转换和相应的简单动力模型，促进了对非线性规范哈密顿系统的数据驱动学习，即使是具有连续谱的系统。

Aug, 2023

本文利用深度学习，从动态系统的轨迹数据中发现 Koopman 特征函数的表示，提出了一种改进的自动编码器模型，可以识别非线性坐标，将动力学嵌入到低维流形上，并将 Koopman 表示推广到具有连续谱的系统。

Dec, 2017

本文提出了使用图神经网络对对象进行编码，使用分块的线性转移矩阵来规范化对象之间的共享结构，从而学习组合型 Koopman 操作符，以实现非定常系统的建模与控制。我们的实验结果表明，与现有的基线相比，所提出的方法具有更好的效率和泛化能力。

Oct, 2019

本文提出一种基于数据驱动的方法，利用 Koopman 嵌入将原始状态空间提升到更高的线性流形，从而学习非线性系统的稳定模型，并证明了该方法在离散时间下能够学习所有非线性收缩模型，在保证模型稳定性的同时允许对 Koopman 嵌入和算子进行无约束的优化，同时通过直接参数化稳定线性系统来极大地简化计算。我们还在模拟系统上验证了该方法，并分析了与替代方案相比的优势。

Oct, 2021

使用具备无穷维特征的 Spectral Dynamics Embedding 结合实际的有限维截断近似来控制非线性随机系统的 Spectral Dynamics Embedding Control（SDEC）算法，探索了其截断近似和有限采样的近似所引起的误差，对摆锤问题进行了实证测试。

Apr, 2023

这篇论文描述了使用 Koopman 算子及其特征函数进行非线性系统的控制的方法，并提出了基于数据驱动的降阶方法，证明了验证确定的特征函数的重要性并且说明了其在控制中的作用。

Jul, 2017