本文利用深度学习，从动态系统的轨迹数据中发现 Koopman 特征函数的表示，提出了一种改进的自动编码器模型，可以识别非线性坐标，将动力学嵌入到低维流形上，并将 Koopman 表示推广到具有连续谱的系统。

Dec, 2017

通过深度学习揭示紧凑辛坐标转换和相应的简单动力模型，促进了对非线性规范哈密顿系统的数据驱动学习，即使是具有连续谱的系统。

Aug, 2023

本文提出了一种基于 Koopman 算子理论和消息传递网络的新方法，可以在任意时间步骤上全局有效地找到动态系统的线性表示，并应用于非线性网络动态问题及神经网络体系结构的高度非线性培训动态，获得了比当前技术水平高数个数量级的预测精度。

May, 2023

本文提出了使用图神经网络对对象进行编码，使用分块的线性转移矩阵来规范化对象之间的共享结构，从而学习组合型 Koopman 操作符，以实现非定常系统的建模与控制。我们的实验结果表明，与现有的基线相比，所提出的方法具有更好的效率和泛化能力。

Oct, 2019

本文提出一种基于数据驱动的方法，利用 Koopman 嵌入将原始状态空间提升到更高的线性流形，从而学习非线性系统的稳定模型，并证明了该方法在离散时间下能够学习所有非线性收缩模型，在保证模型稳定性的同时允许对 Koopman 嵌入和算子进行无约束的优化，同时通过直接参数化稳定线性系统来极大地简化计算。我们还在模拟系统上验证了该方法，并分析了与替代方案相比的优势。

Oct, 2021

这篇文章提出了一种基于深度学习的方法来学习非线性动力学系统的 Koopman 算子，自动选择高效的深度字典来描述这些系统，并成功预测了未来 100 步的量化预测和 400 步的定性振荡行为。

Aug, 2017

本研究提出了 Koopmanizing Flows 方法，它是一种新的连续时间框架，用于监督学习一类非线性动力学的线性预测器，可有效地解决寻找有意义的有限维表示以进行预测的问题，并在 LASA 手写字体基准测试中展示出卓越的功效。

Dec, 2021

应用 Koopman 算子理论和深度强化学习网络，提出了一种数据驱动的线性估计器，用于提取复杂非线性系统的有限维表示，实现对原始非线性系统未来状态的精确预测。该估计器还可以适应非线性系统的微分同胚变换，从而实现对变换后系统状态的估计，无需重新学习。

May, 2024

本研究介绍了一种数据学习的线性 Koopman 嵌入非线性网络动态的方法，并将其用于实现电网中的实时模型预测紧急电压控制。该方法包括一种新颖的 “基字典自由” 的数据驱动系统动态升维方式、基于 Koopman 的深度神经网络编码器解码器架构用于分布式控制下潜在动力学的线性嵌入以及使用真实系统轨迹数据一次性学习三个连续变换的端到端成分。通过在标准 IEEE 39 总线系统上进行应用程序验证了该方法的效力和鲁棒性。

Jun, 2022

使用 Koopman 算子理论开发了一个基于数据驱动的框架，用于非线性系统的系统识别和线性化控制，采用递归学习的深度学习框架，并使用线性二次控制器对得到的线性系统进行控制。通过在噪声数据上进行仿真，我们展示了我们的方法相比自编码器基准更高效且更准确的训练结果。

Sep, 2023