Jan, 2024

高维偏微分方程的解算子的近似

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TL;DR我们提出了一种基于有限维控制的方法来近似解决高维演化型偏微分方程的解算符。通过使用通用的降阶模型，例如深度神经网络，我们将模型参数的演化与相应函数空间中的轨迹连接起来。利用神经常微分方程的计算技术，我们学习参数空间上的控制，从而使受控轨迹与 PDE 的解非常接近。对于一类二阶非线性 PDE，我们验证了近似精确度。对几个高维 PDE，包括解决 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的真实应用，我们展示了所提方法的准确性和效率。
finite-dimensional control-based methodsolution operatorsevolutional partial differential equationsdeep neural networkneural ordinary differential equation
发现论文，激发创造
  • 使用深度学习求解高维偏微分方程

    通过使用神经网络逼近未知解的梯度来解决高维偏微分方程，该算法在包括非线性 Black-Scholes 方程、Hamilton-Jacobi-Bellman 方程和 Allen-Cahn 方程等方程上均取得了精确和低误差的结果。

    Jul, 2017

  • 高维完全非线性偏微分方程和二阶反向随机微分方程的机器学习逼近算法

    本文介绍一种新的用于解决高维金融模型中的非线性偏微分方程的方法，该方法包含非线性现象、深度神经网络和随机梯度下降类型优化过程，并通过海量数据的数值结果证明了该方法的高效性和精确性。

    Sep, 2017

  • 高维随机偏微分方程深度神经网络代理

    利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

    Jun, 2018

  • 一种基于极限学习机的高维计算 PDEs 方法

    我们提出了两种基于随机神经网络解决高维偏微分方程 (PDE) 的有效方法。通过对这种类型网络的普适逼近性质的激励，这两种方法都将极限学习机 (ELM) 方法从低维扩展到高维。第一种方法中，$d$ 维度下未知解域由随机前向神经网络表示，其中隐藏层参数随机分配并固定，而输出层参数进行训练。PDE、边界 / 初值条件以及连续性条件 (对于方法的局部变量) 被施加在一组随机内部 / 边界对应点上。通过最小二乘解决其结果线性或非线性代数系统，从而得到网络参数的训练值。第二种方法通过一个基于近似理论的被约束表达式重新描述高维 PDE 问题，避免了随着维度增加而引发的 TFC 项数量的指数级增长。约束表达式中的自由域函数由随机神经网络表示，并通过类似于第一种方法的过程进行训练。我们进行了大量数值模拟，针对多个高维线性 / 非线性静态 / 动态 PDE，以展示这些方法的性能。与基于物理知识的神经网络 (PINN) 方法相比，当前方法在高维 PDEs 上既具有成本效益，又更准确。

    Sep, 2023

  • DGM：一种用于解决偏微分方程的深度学习算法

    提出了一种名为 Deep Galerkin Method（DGM）的算法，它使用深度神经网络来解决高维偏微分方程问题。相较于形成网格，该算法不依赖于网格，而是通过对随机采样的时间和空间点的批量训练来实现。它在一类高维自由边界的偏微分方程、高维哈密顿 - 雅各比 - 贝尔曼（Hamilton-Jacobi-Bellman）偏微分方程和 Burgers 方程上得到了测试，并且在高维空间中能够准确地近似各种边界条件和物理条件下的 Burgers 方程的一般解。此外，论文还证明了神经网络在一类拟线性抛物型偏微分方程上的逼近能力。

    Aug, 2017

  • 参数化偏微分方程的模型简化和神经网络

    发展了一种数据驱动输入输出图像无限维空间的近似方法，使用了神经网络和深度学习并结合模型缩减的思想，该方法在概念上定义于无限维空间上，并在实践中对计算所需的有限维空间的维度稳健，通过对输入输出映射的一类概率测度的选择，证明了所提出近似方法的收敛性。数值实验表明了该方法的有效性，并将其与现有的算法相比较。

    May, 2020

  • 具有物理知识的 DeepONets 用于参数演化方程的长时间积分

    本文提出了一种用于无配对输入输出观测的深度神经网络参数化的无穷维算子的学习框架，以实现对于参数 ODE/PDE 系统的精确长时间模拟，该方法虽然比传统数值解算法计算成本低，但可靠性更高且能够全局评估。

    Jun, 2021

  • 解决偏微分方程的快速分辨率无关的神经技术

    本文综述了传统的 PDE 数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习 PDE 解算子的新方法，与传统方法相比具有 1000 倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

    Jan, 2023

  • 基于导数信息的神经算子在高维度不确定性下的高效偏微分方程约束优化

    提出一种基于神经网络和基函数的新型算法来求解随机参量的大规模偏微分方程优化问题。通过构建一种新的神经算符逼近偏微分方程的解算符，该算符由减小基构建而成，在保持精度的同时大大缩小了训练数据量和计算成本，并成功用于数值实验中。

    May, 2023

  • 可微分物理学习控制偏微分方程

    本研究介绍了一种新颖的分层预测 - 校正方案，使神经网络能够学习理解和控制复杂的非线性物理系统，在涉及偏微分方程的任务中成功地开发了对这些系统的理解，并学会了控制它们。

    Jan, 2020