在主值几何格拉斯曼子流形上的多项式混沌展开用于代理建模与不确定性量化

Jan, 2024

在主值几何格拉斯曼子流形上的多项式混沌展开用于代理建模与不确定性量化

Polynomial Chaos Expansions on Principal Geodesic Grassmannian Submanifolds for Surrogate Modeling and Uncertainty Quantification

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Dimitris G. Giovanis, Dimitrios Loukrezis, Ioannis G. Kevrekidis, Michael D. Shields

TL;DR基于流形学习的替代建模框架，用于高维随机系统的不确定性量化，并利用 Grassmann 流形上的主测地子流形识别潜在参数空间中的不同系统行为。

Abstract

In this work we introduce a manifold learning-based surrogate modeling framework for uncertainty quantification in high-dimensional stocha

manifold learning surrogate modeling uncertainty quantification stochastic systems parameter space

发现论文，激发创造

基于物理约束的多项式混沌展开用在科学机器学习和不确定性量化中

提出了一种新颖的物理约束多项式混沌扩展方法作为代理模型方法，能够同时进行科学机器学习和不确定性量化任务，有效地量化科学机器学习任务的不确定性，并利用科学机器学习改善不确定性评估。

Feb, 2024

基于多元多项式混沌克里金的元建模方法用于非平滑系统的贝叶斯推断

本研究提出一种基于多项式混沌扩展 Kriging 元模型的领域划分代理建模技术，可用于高度非线性工程模型的贝叶斯参数推断，通过采用局部自适应性的方式，本代理模型可以在最小的计算代价下重复非平滑响应，并使用马尔科夫链蒙特卡洛方法进行参数推断。

Dec, 2022

通过量子动力学进行多流形学习

利用图嵌入的量子动力学模拟算法计算采样流形上的测地线，并揭示了数据采样和量子化之间的有趣关系。

Dec, 2021

多项式混沌扩展高斯过程

在复杂和未知的过程中，全局模型通常无法在局部区域提供准确的预测。为解决这个问题，本研究介绍了一种新的机器学习方法：多项式混沌扩展高斯过程（PCEGP），利用多项式混沌扩展（PCE）计算高斯过程（GP）的输入依赖超参数。该方法提供了一种数学解释方法，可以结合非平稳协方差函数和异方差噪声估计生成本地适应模型。在回归任务的基准测试中，将该模型的性能与不同算法进行对比。结果表明，在这些基准应用中，PCEGP 的预测误差较低，其模型性能通常与之前的方法竞争力强或更优。该模型的关键优势在于计算超参数和模型预测的透明度和可追溯性。

May, 2024

嵌入流形上的测地线蒙特卡罗

本文讨论了基于浸入流和哈密尔顿 - 雅可比表示描述的测地线流的概率密度函数流形的 Markov chain Monte Carlo 方法，并基于流形支撑下的测地线流开发了提案机制，文中用超球面和正交矩阵的 Stiefel 流形为例进行了说明。

Jan, 2013

降维的主要子束

使用子里曼几何学通过将点云的局部线性逼近组合成较低维度束，来进行流形学习和表面重构；通过获取由局部主成分分析得到的局部逼近构建在数学类 R^d 空间中低于维度 d 的级别 k 切子空间，我们称之为主切子空间，从而决定了 R^d 上的子里曼度量；我们展示了使用该度量进行子里曼测地线在一些重要问题上的应用，如：构建一个逼近子流形 M，在 R^k 中构建点云的表示，以及在考虑到学习的几何特性时计算观测值之间的距离；当切空间精确估计时，重构保证与真实子流形相等，在模拟中展示了该框架在处理噪声数据时的稳健性；此框架还推广到基于先验已知里曼几何学的观测。

Jul, 2023

流形上的重心子空间分析

研究如何将主成分分析 (PCA) 推广到黎曼流形上，提出了一种新的子空间类型 —— 重心子空间，并将 PCA 重新表述为线性子空间族上的最优化问题，以构造具有 affine spans 的 Flag 的子空间层次嵌套来优化积累未解释方差 (AUV) 标准，在黎曼流形中进行最优的 PCA 推广 ——Barycentric Subspaces Analysis (BSA)。

Jul, 2016

非凸鲁棒子空间恢复的良性景观

该论文介绍了一种数学分析方法，针对鲁棒子空间恢复的非凸能量景观，证明了一个基于数据集固定条件的子空间是惟一的稳定点和一个特定范围内的局部极小值。研究还表明，如果该确定的条件满足，一种沿着 Grassmann 流形的测地线梯度下降方法可以在适当初始化的情况下完全恢复基础子空间。此外，当在一些数据模型上验证了它的实用性后，该方法可以在不同的样本大小和环境维度的不同情况下实现几乎最先进的恢复保证。

Jun, 2017

深度生成模型的黎曼几何

研究了深度生成模型所学习的流形的黎曼几何，并提出了计算测地线和沿流形路径平行传递切向量的算法，发现这些模型学习的流形近似于零曲率，并探讨了这种现象的实际影响。

Nov, 2017

Grassmann 流形手册：基础几何与计算方面

本文介绍了 Grassmann 流形的基本事实和公式，通过用矩阵算法解决应用中的问题，从表示子空间的正交投影器的方法和被视为正交群的商空间的方法揭示了 Grassmann 几何学。同时，还提出了一种改进的算法，用于计算 Grassmann 流形上的 Riemannian 对数映射，以及沿正交投影器视角的测地线的平行输运的方程和指标的导数。

Nov, 2020