提出了一种新的物理信息多项式混沌展开 (PCE) 建模方法，结合传统实验设计和模型的物理约束条件。该方法在提高近似精度的同时不增加显著的计算负担，并且能够通过简化后的 PCE 进行不确定性量化，将确定性空间时间变量的影响滤除。

Sep, 2023

科学机器学习中的不确定性量化（UQ）与可靠性建模方法相结合，我们提供了一种新的对 UQ 问题的解释，通过建立科学机器学习中产生的贝叶斯推断问题与粘性哈密顿 - 杰克比偏微分方程的新理论联系，我们展示了通过粘性哈密顿 - 杰克比偏微分方程的空间梯度和 Hessian 矩阵的解恢复后验均值和协方差的方法。

Apr, 2024

提出一种基于物理约束深度学习的建模和不确定性量化方法，避免深度学习在小样本问题上的跨度不足，可以用于偏微分方程系统的解决和预测推断，并提供一些解释和量化手段。

Jan, 2019

建议了一种物理约束学习方法，将强大的学习工具与可靠的物理模型相结合，通过高斯过程对观测到的数据进行处理，并将分布式 Port-Hamiltonian 模型与其物理约束相关联，以学习系统的动力学，并进行不确定性量化，并且保留了 Port-Hamiltonian 系统的组合性质。

Jun, 2024

本研究比较了多种机器学习技术的 UQ 准确性，并对两个模型（船只在波浪中的运动和 Majda-McLaughlin-Tabak 模型）进行了应用。

Jun, 2023

本文探讨了运用深度神经网络构建模拟器代理模型的方法，以解决原模拟器参数过多导致的维数灾难，研究对象为随机椭圆偏微分方程中涉及的扩散系数。

Feb, 2018

本文提出了一种基于物理启发式神经网络的深度学习框架，用于量化和传播受非线性微分方程支配的系统中的不确定性。通过建立概率表示，对系统状态进行训练以满足给定的物理定律表达式，并提供了一种有效训练深度生成模型作为物理系统的代理的规范化机制，在这些系统中，数据采集成本高，训练数据集通常较小。该框架提供了一种灵活的方式，用于因输入随机性或观测噪声而导致的物理系统输出不确定性的表征，完全绕过了重复采样昂贵的实验或数值模拟器的需求。作者通过一系列例子证明了方法的有效性，这些例子涉及非线性守恒定律中的不确定性传播以及直接从嘈杂的数据中发现流体通过多孔介质的本构规律。

Nov, 2018

我们提出了一种用于高维反问题中不确定性量化的物理启发机器学习方法。该方法使用截断条件 Karhunen-Loève 展开（CKLE）来近似偏微分方程（PDE）的状态和参数，通过构造与各个变量的测量值相匹配。该方法中所提出的随机化 PICKLE 方法（rPICKLE）通过求解带有零均值高斯扰动的优化问题来对逆问题的不确定性进行量化。我们通过对低维和高维参数空间的地下水模型的逆问题进行测试和验证，展示了 rPICKLE 方法在不同问题维度下的性能优势。

Dec, 2023

提出了一种将高效精确的不确定性量化整合到基于深度学习的代理模型中的方法，称为 LE-PDE-UQ，其具备了前向和反向问题中的鲁棒高效的不确定性量化能力。

Feb, 2024

神经偏微分方程（Neural PDEs）被证明能够有效重构流系统并预测相关的未知参数。然而，基于贝叶斯方法的神经偏微分方程显示出更高的预测确定性，相较于使用 Deep Ensembles 方法得到的结果，可能低估了真实潜在的不确定性。

Nov, 2023